Matemática (61) · Unidad 4 — Límites, asíntotas y continuidad

Límites en el infinito y asíntotas horizontales

Cuando x se va lejos, en cada función manda un solo término: la potencia más alta en un polinomio, el cociente de las más altas en una racional, lo que haga el exponente en una exponencial. Si lo que queda es un número, hay asíntota horizontal; si se dispara, no.

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La explicación

Qué se pregunta

lím_x→+∞ f(x) = L quiere decir que, para x cada vez más grandes, f(x) se estabiliza en L. Si eso pasa, el gráfico se acuesta contra la recta y = L, que es una asíntota horizontal. Se contesta con la ecuación: una asíntota es una recta, no un número. Y x → −∞ es otra pregunta: la respuesta puede cambiar.

Polinomios: manda la potencia más alta

Con x grande, el término de mayor grado le gana a todos los demás juntos. Se ve sacando factor común esa potencia:

x³ − 5x² + 2 = x³·(1 − 5/x + 2/x³)

El paréntesis tiende a 1, así que el polinomio hace lo mismo que x³. Eso resuelve el «∞ − ∞» que aparece si se mira término por término. Queda decidir el signo:

En +∞, el signo es el del coeficiente principal.
En −∞, una potencia par es positiva y una impar es negativa. −2x⁵ en −∞: x⁵ → −∞, y por −2 da +∞.

Un polinomio de grado ≥ 1 nunca tiene asíntota horizontal: siempre se va a +∞ o a −∞.

Cocientes de polinomios: los tres casos

grado arriba < grado abajo → 0 (y = 0)
grados iguales → cociente de principales
grado arriba > grado abajo → ±∞, sin asíntota

Se justifica dividiendo arriba y abajo por la potencia más alta de todo el cociente:

(5x² − x)/(2x² + 3) = (5 − 1/x)/(2 + 3/x²) → 5/2

En el tercer caso, el signo del infinito sale del cociente de los términos principales: (x³ + 2)/(3x − x²) se comporta como x³/(−x²) = −x, que en −∞ da +∞.

Con cocientes de polinomios, +∞ y −∞ dan el mismo límite cuando éste es un número, así que hay a lo sumo una asíntota horizontal.

Exponenciales y logaritmos de expresiones

e^algo: mirá a dónde va el exponente. Si algo → +∞, e^algo → +∞; si algo → −∞, e^algo → 0; si algo → c, e^algo → e^c.
ln(algo): si algo → +∞, ln(algo) → +∞; si algo → 0⁺, ln(algo) → −∞.
Ejemplos: e^{x² + 1} → +∞ en los dos infinitos; e^x³ → 0 en −∞; e^{4/(x + 2)} → e⁰ = 1; ln(x² + 5) → +∞ en los dos lados.

Acá sí puede pasar que una función tenga asíntota de un solo lado: 3 − e^x tiende a 3 en −∞ (y = 3 es asíntota ahí) y a −∞ en +∞.

Hallar un parámetro

Se calcula el límite dejando el parámetro adentro, se lo iguala a lo que pide el enunciado y se despeja. Para que y = 4 sea asíntota de (ax − 1)/(3x + 2): a/3 = 4 ⟹ a = 12. Y después se reemplaza y se verifica.

El control que conviene hacer siempre

Evaluá en x = 1000 (o −1000). Si el límite te dio 5/2, f(1000) tiene que andar por 2,5; si te dio +∞, tiene que dar un número enorme y positivo. Este control atrapa sobre todo los errores de signo en −∞.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular: a) el límite de (4x² − 3x)/(2 − 8x²) cuando x → +∞; b) el límite de (x³ + 2)/(3x − x²) cuando x → −∞; c) los límites de e^(1 − x²) cuando x → +∞ y de ln(x² + 3) cuando x → −∞.

a) Grados iguales. Los principales son 4 (de 4x²) y −8 (de −8x², aunque esté escrito segundo):

(4x² − 3x)/(2 − 8x²) = (4 − 3/x)/(2/x² − 8) → 4/(−8) = −1/2

Asíntota horizontal: y = −1/2. Control: en x = 1000 da ≈ −0,4996 ✔

b) Grado arriba mayor. No hay asíntota; falta el signo. El cociente se comporta como el de los principales:

x³/(−x²) = −x → +∞ cuando x → −∞

El límite es +∞. Control: en x = −1000, arriba ≈ −10⁹ y abajo ≈ −10⁶: el cociente es positivo y enorme ✔

c) Mirando el exponente y el argumento. 1 − x² → −∞ cuando x → +∞, así que e^{1 − x²} → 0. Y x² + 3 → +∞ cuando x → −∞ (el cuadrado es positivo), así que ln(x² + 3) → +∞.

Dónde se pierde el punto: en a), tomar como principal de abajo el 2 porque está escrito primero, y contestar 2. En b), poner −∞ por reflejo al ver el menos.

Y uno del nivel del parcial

Sea f(x) = (a x² + x − 1)/(3x² + 2). a) Hallar a para que el límite de f cuando x → −∞ sea −2. b) Con ese a, ¿la recta y = −2 es asíntota también en +∞? c) Sea g(x) = 2 − e^(x + 1). Hallar sus asíntotas horizontales.

a) El límite con el parámetro adentro. Grados iguales (si a ≠ 0), así que el límite es a/3:

a/3 = −2 ⟹ a = −6

Verificación: f(x) = (−6x² + x − 1)/(3x² + 2) → −6/3 = −2 ✔

b) Sí. En un cociente de polinomios de grados iguales el límite no depende del signo de x: en +∞ también da −2. La recta y = −2 es asíntota horizontal de los dos lados.

c) g, un lado por vez.

x → −∞: x + 1 → −∞, e^{x + 1} → 0, g → 2
x → +∞: e^{x + 1} → +∞, g → −∞

g tiene una sola asíntota horizontal, y = 2, y sólo hacia la izquierda. Hacia la derecha se hunde.

Control: g(−10) = 2 − e⁻⁹ ≈ 1,9999 ✔ y g(5) = 2 − e⁶ ≈ −401 ✔

Dónde se pierde el punto: en c), contestar «y = 2» sin decir de qué lado, o poner además y = 0 porque «las exponenciales tienen asíntota y = 0»: acá el − y el 2 la movieron.

Dónde se cae la mayoría

Dar 0 cuando los grados son iguales: el límite es el cociente de los coeficientes principales.
En −∞, olvidar que una potencia impar es negativa: −2x⁵ va a +∞, no a −∞.
Tomar como coeficiente principal el primero escrito y no el de la potencia más alta.
Decir que e^(algo) tiende a 0 porque «el exponente es grande»: si el exponente va a +∞, la exponencial también.
Contestar la asíntota con un número suelto en vez de la ecuación y = L.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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