Matemática (61) · Unidad 4 — Límites, asíntotas y continuidad
La función homográfica, su inversa y asíntotas en contexto
Una homográfica es una recta dividida por otra, y se lee casi sin cuentas: el denominador da la asíntota vertical, el cociente de los coeficientes de la x da la horizontal, y la inversa intercambia las dos. En un problema, la asíntota horizontal es el valor al que se tiende a largo plazo.
La explicación
La forma y lo que dice cada parte
Si c = 0 queda una recta, y si a·d − b·c = 0 el numerador es múltiplo del denominador y f es constante (con un agujero). Con las dos condiciones, el gráfico es una hipérbola: dos ramas separadas por una asíntota vertical y acostadas sobre una horizontal.
2. Asíntota vertical: x = −d/c (el numerador no se anula ahí, por la segunda condición).
3. Asíntota horizontal: grados iguales ⟹ y = a/c, de los dos lados.
4. Imagen: todos los reales menos el de la horizontal: Im(f) = ℝ − {a/c}.
5. Cero: a·x + b = 0 ⟹ x = −b/a (si a = 0, no hay ceros).
6. Signo: el cero y el valor prohibido parten la recta en tres tramos; en cada uno se prueba un número y se mira sólo el signo.
Para dibujarla alcanza con las dos asíntotas punteadas, el cero y f(0).
¿Por qué la imagen pierde justo a/c?
Porque despejando x de y = (ax + b)/(cx + d) queda x = (b − dy)/(cy − a), y la cuenta se rompe sólo cuando cy − a = 0, o sea y = a/c. Ese despeje es, además, la inversa.
La inversa intercambia las asíntotas
Es otra homográfica. Como invertir es espejar respecto de y = x, lo vertical pasa a horizontal:
asíntota horizontal de f⁻¹: y = −d/c (la vertical de f)
Lo mismo dominio e imagen: Dom(f⁻¹) = Im(f) = ℝ − {a/c}. No hace falta memorizar la fórmula: el despeje con todas las x de un lado siempre funciona.
Hallar un parámetro para una asíntota vertical
«Que x = 3 sea asíntota vertical» quiere decir que el denominador se anula en 3 y el numerador no. Con f(x) = (2x + 1)/(kx − 6): 3k − 6 = 0 ⟹ k = 2, y el numerador vale 7 ≠ 0 en x = 3 ✔. Recién con k en la mano se calcula la horizontal: y = 2/k = 1. Cuando el denominador es cuadrático, el mismo planteo da el parámetro, y después hay que factorizar para ver si aparece otra asíntota.
Asíntotas en contexto
En un problema, la asíntota horizontal es el valor a largo plazo. Si c(t) = 30t/(t + 10) es la concentración de un remedio en un tanque, c(t) → 30 cuando t → +∞: la concentración se acerca a 30 sin llegar nunca. Y un límite en 0⁺ también se interpreta: si el tiempo de un viaje de 300 km es t(v) = 300/v, cuando v → 0⁺ el tiempo → +∞, y cuando v → +∞ el tiempo → 0.
Para «¿cuándo llega a tal valor?» se usa la inversa, o se plantea la ecuación directamente.
El control que conviene hacer siempre
El cero y el valor prohibido nunca coinciden en una homográfica de verdad. Y después de invertir, probá un número: f(0) = b/d, y f⁻¹(b/d) tiene que dar 0.
Sea f(x) = (3x − 6)/(2x + 4). Hallar el dominio, el cero, las asíntotas, la imagen y los conjuntos de positividad y de negatividad.
Leo las partes.
3x − 6 = 0 ⟹ cero en x = 2
a/c = 3/2: asíntota y = 3/2, Im(f) = ℝ − {3/2}
Signo. El −2 y el 2 parten la recta en tres tramos. Pruebo un número en cada uno:
x = 0: (−6)/(4) < 0
x = 3: (3)/(10) > 0
C⁻ = (−2 ; 2)
Control: f(0) = −6/4 = −3/2 está en C⁻ ✔; el cero (2) y el prohibido (−2) son distintos ✔; y en x = 1000, f ≈ 2994/2004 ≈ 1,494, cerca de 3/2 ✔
Dónde se pierde el punto: escribir la horizontal como y = −6/4 (los términos independientes) y armar el signo con un solo punto de corte en vez de dos.
Un tanque tiene 500 litros de agua pura. Empieza a entrar salmuera con 40 gramos de sal por litro, a razón de 20 litros por minuto, y no sale nada. La concentración de sal en el tanque, en g/L, a los t minutos es c(t) = 40t/(25 + t). a) ¿Cuánto vale c(0)? b) Calcular el límite de c cuando t → +∞ e interpretarlo. c) ¿Cuándo llega la concentración a 30 g/L? d) Dar la función inversa.
De dónde sale la fórmula: a los t minutos entraron 20t litros con 40 g cada uno, o sea 800t gramos de sal, en un volumen de 500 + 20t litros. c(t) = 800t/(500 + 20t), y dividiendo todo por 20 queda 40t/(25 + t).
a) c(0) = 0: al principio el agua es pura ✔
b) Grados iguales, principales 40 y 1:
Interpretación: con el tiempo, el agua del tanque se parece cada vez más a la salmuera que entra, y su concentración se acerca a 40 g/L, sin llegar nunca: siempre queda algo del agua pura del principio.
c) 40t/(25 + t) = 30 ⟹ 40t = 750 + 30t ⟹ t = 75 minutos.
d) Despejo t de c = 40t/(25 + t): 25c + ct = 40t ⟹ t(40 − c) = 25c ⟹ t(c) = 25c/(40 − c), definida para 0 ≤ c < 40. Control: t(30) = 750/10 = 75 ✔. Y su asíntota vertical, c = 40, es la horizontal de c(t), como tenía que ser.
Dónde se pierde el punto: en b), dar el 40 sin interpretar, o decir que la concentración «llega» a 40.
Dónde se cae la mayoría
- Calcular la asíntota horizontal como b/d en vez de a/c: la dan los coeficientes de la x.
- Sacarle al dominio el cero del numerador en vez del del denominador.
- Dar la inversa de una homográfica dando vuelta la fracción: eso es 1/f, no f⁻¹.
- En un problema, contestar el límite sin interpretarlo: «40» no es una respuesta, «la concentración se acerca a 40 g/L» sí.
- Hallar el parámetro de la asíntota vertical sin controlar que el numerador no se anule en ese punto.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La función homográfica, su inversa y asíntotas en contexto →Los otros temas de la unidad 4
Límites, asíntotas y continuidad