Matemática (61) · Unidad 4 — Límites, asíntotas y continuidad
Continuidad y funciones partidas
Continua en un punto quiere decir tres cosas a la vez: que la función esté definida ahí, que el límite exista y que los dos coincidan. Las funciones de siempre ya son continuas en su dominio, así que el trabajo real está en los puntos donde una función partida cambia de fórmula.
La explicación
Las tres condiciones
f es continua en x₀ cuando se cumplen las tres, en este orden:
2. El límite existe: los dos laterales existen y dan lo mismo.
3. Coinciden: límx→x₀ f(x) = f(x₀).
La idea es que el gráfico se puede recorrer sin levantar el lápiz al pasar por x₀. Si falla cualquiera de las tres, f es discontinua ahí, y cuál falla dice cómo se ve.
Leerlo en un gráfico
- Un hueco sin punto lleno: falla la 1. El límite puede existir (se arrima a la altura del hueco), pero f(x₀) no.
- Un hueco con el punto lleno en otra altura: se cumplen la 1 y la 2, falla la 3. Es una discontinuidad evitable: se arregla redefiniendo un solo punto.
- Un escalón: los laterales existen y son distintos, falla la 2. Es un salto, y no se arregla cambiando un punto.
- Una rama que se dispara: un lateral es infinito, falla la 2. Asíntota vertical.
Qué funciones ya son continuas
Son continuas en todo su dominio los polinomios, las racionales, las raíces, las exponenciales, los logaritmos, el seno, el coseno, la tangente y el módulo. Y la suma, el producto, el cociente (donde el denominador no se anula) y la composición de continuas es continua. Por eso casi nunca hay que probar las tres condiciones en todos lados: los candidatos a discontinuidad son pocos.
· los ceros de un denominador;
· los bordes del dominio de un logaritmo o una raíz, y los puntos donde algo de afuera deja de estar definido (1/ln(x + 2) no existe donde ln(x + 2) = 0, o sea en x = −1);
· los puntos donde una función partida cambia de fórmula.
|x + 3| es continua en todo ℝ: tiene un pico en −3, pero no un salto.
Funciones partidas
Si f(x) = g(x) para x < x₀ y h(x) para x ≥ x₀, con g y h continuas, lo único que hay que mirar es x₀:
lateral derecho: lím h(x)
valor: f(x₀) = h(x₀) (la rama con el ≥)
Continua si los tres dan lo mismo. Ojo con qué rama tiene el igual: el valor lo define ésa.
Hay otra forma típica: f(x) = una fórmula si x ≠ x₀, y un número si x = x₀. Ahí el límite se calcula con la fórmula (casi siempre es un 0/0 que se factoriza) y se compara con el número.
Hallar k para que sea continua
Se calcula cada lateral dejando la k adentro y se igualan. Por ejemplo, con f(x) = 2x + k si x < 1 y x² + 4 si x ≥ 1:
2 + k = 5 ⟹ k = 3
Si uno de los laterales es un 0/0, primero se factoriza y se simplifica, después se iguala. Y puede no haber solución: si queda 2 = 3, ningún k la hace continua.
El control que conviene hacer siempre
Con el k encontrado, evaluá las dos ramas en x₀ ± 0,001: tienen que dar casi lo mismo, y ese número tiene que ser f(x₀).
a) Decidir si f es continua en x₀ = 3, donde f(x) = 2x − 1 si x < 3 y f(x) = x² − 4 si x ≥ 3. b) Decidir si g es continua en x₀ = 3, donde g(x) = (x² − 9)/(x − 3) si x ≠ 3 y g(3) = 5.
a) Las tres condiciones.
límx→3⁻ (2x − 1) = 5
límx→3⁺ (x² − 4) = 5
Existe f(3), los laterales coinciden y valen f(3): f es continua en 3. Cambió de fórmula, pero las dos ramas empalman.
b) Primero el límite, que es un 0/0:
g(3) = 5 existe y el límite 6 existe, pero no coinciden: falla la tercera condición. g no es continua en 3. Es evitable: redefiniendo g(3) = 6 quedaría continua.
Control: g(2,999) = 5,999 y g(3,001) = 6,001: la función se arrima a 6, no a 5 ✔
Dónde se pierde el punto: en a), contestar «no es continua porque es partida»; en b), ver que g(3) existe y el límite también, y dar por hecho que es continua sin comparar.
Hallar todos los puntos de discontinuidad de a) f(x) = (x² − 9)/(x³ − 2x² − 3x) y b) g(x) = cos(x) si x ≤ 0, g(x) = (x + 2)/(x − 1) si x > 0.
a) Es un cociente de polinomios: los candidatos son los ceros del denominador.
f no está definida en 0, 3 y −1: es discontinua en los tres (falla la primera condición). Para saber cómo se ve cada uno, simplifico: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), y
En 3 el límite es 6/12 = 1/2: un agujero. En 0 y en −1 el denominador simplificado se sigue anulando: asíntotas verticales.
b) Cada rama es continua donde vale (el coseno siempre; la homográfica, salvo en x = 1, que cae en su tramo x > 0). Los candidatos son 0 (cambio de fórmula) y 1.
Los laterales no coinciden: salto en 0. En 1, (x + 2)/(x − 1) se dispara: asíntota vertical en 1.
Respuesta: f es discontinua en −1, 0 y 3; g en 0 y 1.
Dónde se pierde el punto: en a), simplificar primero y olvidarse del 3; en b), no mirar el punto donde cambia la fórmula.
Dónde se cae la mayoría
- Decir que una función partida es discontinua «porque cambia de fórmula»: puede cambiar y empalmar perfecto.
- Revisar sólo que existan los laterales y no compararlos con f(x₀).
- Tomar el valor f(x₀) de la rama equivocada: lo define la que tiene el ≤ o el ≥.
- Reemplazar x₀ en un 0/0 y concluir que no hay k posible, sin factorizar antes.
- Buscar discontinuidades donde no las hay: el módulo, los polinomios y las exponenciales son continuos en todo ℝ.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Continuidad y funciones partidas →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El agujero y la asíntota20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 4
Límites, asíntotas y continuidad