Matemática (61) · Unidad 3 — Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría
Teoremas del seno y del coseno
Para un triángulo cualquiera hay dos herramientas: el teorema del seno, cuando conocés un lado y su ángulo opuesto, y el del coseno, cuando no. Con ellas se mide lo que no se puede medir directo: la distancia a un incendio, el ancho de una laguna, la altura de una torre.
La explicación
Los nombres
En el triángulo ABC, cada lado se nombra por el vértice que tiene enfrente: a = BC es el opuesto a A, b = CA el opuesto a B y c = AB el opuesto a C. Los ángulos son ∠BAC (en A), ∠ABC (en B) y ∠ACB (en C). Aplicar bien un teorema con el lado equivocado es el error más común del tema.
Teorema del seno
Cuándo se usa: cuando tenés una pareja completa (un lado y su ángulo opuesto) y un dato más. Son los casos «un lado y dos ángulos» (el tercer ángulo sale de la suma, 180°) y «dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos».
Teorema del coseno
y lo mismo para b y c, rotando letras. Si ∠A = 90°, el coseno es 0 y queda Pitágoras: el teorema del coseno es Pitágoras con una corrección. Si el ángulo es obtuso, el coseno es negativo y el término de corrección suma: el lado opuesto sale más largo que en un triángulo rectángulo.
Cuándo se usa: cuando no hay ninguna pareja completa. «Dos lados y el ángulo comprendido» da el tercer lado; «tres lados» da cualquier ángulo despejando:
Cómo elegir, en una línea
¿No? → coseno, que te arma esa pareja; después podés seguir con el seno.
El área
Dos lados y el ángulo entre ellos: es base por altura sobre dos, con la altura escrita como c·sen(∠A).
El caso ambiguo: dos lados y un ángulo opuesto
Si despejás un ángulo con el teorema del seno y sale sen(∠B) = 0,92, hay dos ángulos entre 0° y 180° con ese seno: ∠B y 180° − ∠B. Hay que probar los dos:
2. Para cada uno, sumale el ángulo dato. Si la suma pasa de 180°, ése no forma triángulo.
3. Pueden quedar dos triángulos distintos, uno o ninguno (si el seno despejado dio más que 1).
Con el coseno esto no pasa: cos⁻¹ da un único ángulo entre 0° y 180°. Por eso, si podés elegir, un ángulo conviene sacarlo con el coseno.
Rumbos y minutos
Un rumbo «N 40° E» se mide desde el norte, girando hacia el este. Si dos puestos A y B están sobre una línea este-oeste, el ángulo interior del triángulo en A es 90° − 40° = 50°: el complemento, porque el rumbo se midió desde el norte y el lado AB va hacia el este. Y los minutos se pasan a decimal antes de usar la calculadora: 72° 15′ = 72,25°.
Dos triángulos en uno
La altura de una torre a la que no se puede llegar se saca en dos pasos: con dos puntos del suelo y los ángulos horizontales se arma un triángulo en el piso y el teorema del seno da la distancia al pie de la torre; después, en el triángulo vertical (rectángulo en el pie), la altura es esa distancia por la tangente del ángulo de elevación.
El control que conviene hacer siempre
Los ángulos suman 180°, al lado más largo le corresponde el ángulo más grande, y lo que sacaste con un teorema se verifica con el otro.
En el triángulo ABC se conocen AB = 10, AC = 7 y ∠BAC = 50°. Hallar BC, ∠ABC, ∠ACB y el área.
¿Qué teorema? Tengo dos lados y el ángulo que forman, y ninguna pareja completa: va el coseno.
= 149 − 140·0,6428 ≈ 59,01
BC ≈ 7,68
∠ABC, ahora sí por el seno: ya tengo la pareja BC con ∠BAC. El lado opuesto a B es AC = 7:
∠ABC ≈ 44,27°
¿Y 180° − 44,27° = 135,73°? Con los 50° de A ya pasaría de 180°: se descarta, pero había que mirarlo.
∠ACB = 180° − 50° − 44,27° = 85,73°.
El área, con los dos lados y el ángulo entre ellos:
Control por el coseno: cos(∠ACB) = (7,68² + 7² − 10²)/(2·7,68·7) ≈ 0,0745, y cos⁻¹(0,0745) ≈ 85,7° ✔. Además, al lado mayor (AB = 10) le toca el ángulo mayor (∠ACB) ✔
Dónde se pierde el punto: arrancar con el teorema del seno, que acá no tiene con qué: no hay ningún lado con su ángulo opuesto conocido.
Dos puestos de observación, A y B, están a 8 km uno del otro, con B directamente al este de A. Desde A se ve una columna de humo con rumbo N 40° E y desde B con rumbo N 35° O. Calcular la distancia de cada puesto al humo.
El dibujo primero. Llamo C al humo. AB = 8 va de oeste a este, y C está al norte de esa línea.
Los ángulos interiores. Desde A el rumbo se mide desde el norte hacia el este; el lado AB apunta al este, así que el ángulo entre AC y AB es el complemento:
∠ABC = 90° − 35° = 55°
∠ACB = 180° − 50° − 55° = 75°
Teorema del seno, con la pareja completa AB = 8 frente a ∠ACB = 75°:
BC = 8·sen 50° / sen 75° ≈ 6,34 km
Control: las dos distancias son menores que 8, y tiene sentido: el ángulo más grande, 75°, es el del humo, y enfrente tiene el lado más largo, AB. Y por el coseno: 6,78² + 6,34² − 2·6,78·6,34·cos 75° ≈ 45,97 + 40,20 − 22,25 ≈ 63,9 ≈ 8² ✔
Dónde se pierde el punto: usar 40° y 35° como ángulos interiores. Con eso el humo quedaría a 105° y todas las distancias salen mal.
Dónde se cae la mayoría
- Usar el teorema del seno sin tener ninguna pareja lado-ángulo opuesto completa: ahí va el coseno.
- En el caso ambiguo, quedarse con el ángulo de la calculadora y no probar 180° menos ese ángulo.
- Tomar el rumbo N 40° E como ángulo interior: se mide desde el norte, y el interior es su complemento.
- Olvidar el signo del término 2bc·cos: con un ángulo obtuso el coseno es negativo y el término suma.
- Escribir 72° 15′ como 72,15°: 15 minutos son un cuarto de grado, 72,25°.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Teoremas del seno y del coseno →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El coseno triplicado y un triángulo20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 3
Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría
- 3.1 Composición de funciones
- 3.2 Función inversa
- 3.3 Exponenciales y logaritmos: gráficos, dominios y ecuaciones
- 3.4 Inversas de exponenciales y logaritmos; modelos
- 3.5 Seno, coseno y tangente: radianes, valores, imagen y extremos
- 3.6 Ecuaciones trigonométricas en un intervalo
- 3.7 Triángulos rectángulos