Matemática (61) · Unidad 3 — Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría
Función inversa
La inversa deshace lo que hizo la función: si f lleva el 2 al 7, f⁻¹ trae el 7 al 2. Por eso el dominio y la imagen se intercambian, y por eso los dos gráficos son espejo respecto de la recta y = x.
La explicación
Antes de invertir: resolver f(x) = b
Preguntarse «¿qué x hace que f(x) valga b?» es invertir un solo número. Gráficamente es cortar el gráfico de f con la recta horizontal y = b, y de ahí salen los tres casos posibles:
- La recta corta una vez: una solución.
- Corta más de una vez: varias. Con x² = 16 salen x = 4 y x = −4.
- No corta: b no está en la imagen de f y la ecuación no tiene solución. Con x² + 1 = 0, o con √(x + 3) = −2, no hay nada que despejar: una raíz cuadrada nunca da negativo.
Mirar primero la imagen te ahorra cuentas: si b quedó afuera, la respuesta es «no tiene solución» y terminaste.
Cuándo existe la inversa
Para poder volver, cada salida tiene que venir de una sola entrada. Una función así se llama inyectiva: x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂). El test visual es el de antes: ninguna recta horizontal corta dos veces el gráfico.
Toda recta con pendiente distinta de cero es inyectiva, y también la raíz cúbica: ∛x crece siempre y llega a todos los reales, así que se invierte en todo ℝ. Una cuadrática, en cambio, no es inyectiva en ℝ, porque el eje de simetría le da dos x con la misma altura. Por eso las cuadráticas se invierten restringidas a un lado del vértice, y el enunciado siempre te dice cuál: f: [0 ; +∞) → ℝ.
El método
2. Despejá x en función de y, deshaciendo las operaciones de afuera hacia adentro.
3. Cambiá los nombres: donde quedó y, escribí x. Eso es f⁻¹(x).
4. Dom(f⁻¹) = Im(f) e Im(f⁻¹) = Dom(f). Son parte de la respuesta.
Aviso de notación: f⁻¹ no es 1/f. El −1 acá quiere decir «la que deshace», no «elevado a menos uno».
La cuadrática restringida: el signo lo elige el dominio
Con f: (−∞ ; 0] → ℝ, f(x) = x² + 2:
¿Más o menos? La inversa tiene que devolver valores del dominio de f, que son los x ≤ 0. Entonces va el menos: f⁻¹(x) = −√(x − 2), con Dom(f⁻¹) = Im(f) = [2 ; +∞). Si el dominio hubiera sido [0 ; +∞), iba el más. No es gusto: lo decide el dominio.
Una conversión es una inversa
Si F(c) = 1,8c + 32 pasa de Celsius a Fahrenheit, la que vuelve de Fahrenheit a Celsius es su inversa: y = 1,8c + 32 ⟹ c = (y − 32)/1,8. Toda tarifa con cargo fijo funciona igual: la inversa responde «pagué tanto, ¿cuánto consumí?».
La inversa de una compuesta
Si h = g∘f y te piden h⁻¹, lo más seguro es escribir h entera primero y después invertirla con el método de siempre. Cuando h es una homográfica, h(x) = (ax + b)/(cx + d), el despeje tiene un paso con trampa:
2. Distribuí y pasá todos los términos con x a un mismo lado: cxy − ax = b − dy.
3. Factor común x: x(cy − a) = b − dy, y dividí.
Si dejás una x de cada lado, no hay factor común y el despeje se traba. Y la inversa de una homográfica es otra homográfica.
El espejo en y = x
Si (a ; b) está en el gráfico de f, entonces (b ; a) está en el de f⁻¹. Cada gráfico es el reflejo del otro respecto de la diagonal y = x: si dibujaste las dos y no son simétricas, alguna está mal.
El control que conviene hacer siempre
Componer: f(f⁻¹(x)) = x y f⁻¹(f(x)) = x. Con un número alcanza: calculá f(1), metele el resultado a f⁻¹ y tiene que volver el 1.
Sea f: [0 ; +∞) → ℝ, f(x) = 4 − x². Hallar la imagen de f, la inversa con su dominio y su imagen, y decidir si la ecuación f(x) = 5 tiene solución.
La imagen primero. Con x ≥ 0, x² toma todos los valores de [0 ; +∞), así que 4 − x² toma todos los de (−∞ ; 4]. El 4 se alcanza en x = 0.
f(x) = 5 no tiene solución, sin hacer ninguna cuenta: 5 no está en la imagen. (Si despejás igual, queda x² = −1.)
El despeje.
Como f sólo recibe x ≥ 0, la inversa tiene que devolver valores no negativos: va la raíz positiva.
Dom(f⁻¹) = Im(f) = (−∞ ; 4] · Im(f⁻¹) = Dom(f) = [0 ; +∞)
Y cierra solo: √(4 − x) pide 4 − x ≥ 0, o sea x ≤ 4, que es exactamente la imagen de f.
Control por composición: f(1) = 3 y f⁻¹(3) = √1 = 1 ✔. Otro: f⁻¹(−5) = √9 = 3, y f(3) = 4 − 9 = −5 ✔
Dónde se pierde el punto: contestar f⁻¹(x) = ±√(4 − x). Eso no es una función: a cada x le daría dos valores.
Sean f(x) = 3x − 1 y g(x) = (x + 2)/(x − 4), y sea h = g∘f. Hallar h con su dominio, la inversa h⁻¹ con su dominio, y verificar.
Primero h, entera. Actúa f y después g:
El denominador se anula en x = 5/3, así que Dom(h) = ℝ − {5/3}. Es una homográfica, y a su imagen le falta el cociente de los coeficientes de la x: Im(h) = ℝ − {1}.
El despeje, juntando las x de un lado:
3xy − 5y = 3x + 1
3xy − 3x = 5y + 1
x(3y − 3) = 5y + 1 ⟹ x = (5y + 1)/(3y − 3)
El 1 que le falta al dominio de h⁻¹ es el que le faltaba a la imagen de h: se intercambian, como tiene que ser.
Verificación con un número: h(2) = 7/1 = 7, y h⁻¹(7) = 36/18 = 2 ✔
Dónde se pierde el punto: en el tercer renglón del despeje, dejar el 3x del lado derecho. Con x de los dos lados no hay factor común posible.
Dónde se cae la mayoría
- Seguir despejando √(x + 3) = −2 como si tuviera solución: una raíz cuadrada nunca da negativo.
- Confundir f⁻¹ con 1/f.
- En la cuadrática restringida, dejar el ± o elegir el signo al azar. Lo elige el dominio de f.
- No dar el dominio de la inversa, que es la imagen de f y casi nunca es todo ℝ.
- Al invertir una homográfica, dejar términos con x de los dos lados del igual y no poder sacar factor común.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Función inversa →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El logaritmo de una parábola20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 3
Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría
- 3.1 Composición de funciones
- 3.3 Exponenciales y logaritmos: gráficos, dominios y ecuaciones
- 3.4 Inversas de exponenciales y logaritmos; modelos
- 3.5 Seno, coseno y tangente: radianes, valores, imagen y extremos
- 3.6 Ecuaciones trigonométricas en un intervalo
- 3.7 Triángulos rectángulos
- 3.8 Teoremas del seno y del coseno