Matemática (61) · Unidad 3 — Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría
Triángulos rectángulos
En un triángulo rectángulo el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo son cocientes entre lados. Con eso y Pitágoras, dos datos alcanzan para saber todo el triángulo, y alcanzan también para medir la altura de un árbol sin subirse.
La explicación
Los nombres, que acá deciden todo
El triángulo ABC es rectángulo en A cuando ∠BAC = 90°. El lado opuesto al ángulo recto, BC, es la hipotenusa (el más largo); AB y AC son los catetos. Los otros dos ángulos son agudos y suman 90°:
Para cada ángulo agudo hay un cateto opuesto (el que no lo toca) y uno adyacente (el que lo forma junto con la hipotenusa). Para ∠ABC, el opuesto es AC y el adyacente es AB. Para ∠ACB es al revés. Casi todos los errores del tema son de nombres, no de cuentas.
Las tres razones y Pitágoras
cos(∠B) = adyacente / hipotenusa = AB/BC
tg(∠B) = opuesto / adyacente = AC/AB
BC² = AB² + AC²
No dependen del tamaño del triángulo, sólo del ángulo: dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son semejantes, y sus lados son proporcionales. Por eso un cociente de lados «es» el ángulo.
Resolver: los cuatro casos
Resolver el triángulo es dar sus tres lados y sus tres ángulos. Con el ángulo recto ya sabido, alcanzan dos datos (y al menos uno tiene que ser un lado):
Hipotenusa y un ángulo: el cateto opuesto es hipotenusa·sen, el adyacente es hipotenusa·cos.
Un cateto y la hipotenusa: el otro cateto por Pitágoras; un ángulo con el seno o el coseno.
Un cateto y un ángulo: el otro cateto con la tangente; la hipotenusa dividiendo por el seno o el coseno.
Para sacar un ángulo a partir de una razón se usa la función inversa de la calculadora (sen⁻¹, cos⁻¹, tg⁻¹), en modo grados. Si sen(∠B) = 0,6, entonces ∠B = sen⁻¹(0,6) ≈ 36,87°.
Grados y minutos
Un grado tiene 60 minutos: 1° = 60′. Para pasar la parte decimal a minutos se multiplica por 60: 36,87° = 36° + 0,87·60′ ≈ 36° 52′. Y al revés: 52° 30′ = 52 + 30/60 = 52,5°, no 52,30°.
Medir alturas: elevación y sombras
Ángulo de elevación es el que forma la visual hacia arriba con la horizontal; de depresión, la visual hacia abajo. Si desde 40 m del pie de un árbol la copa se ve con 32° de elevación, el árbol es el cateto opuesto y la distancia el adyacente:
Sombras: en el mismo momento del día el sol llega con el mismo ángulo a todo, así que un objeto vertical y su sombra forman triángulos semejantes. Si un poste de 2 m da 1,5 m de sombra, cualquier cosa vertical mide 2/1,5 veces su sombra. Ni siquiera hace falta saber el ángulo.
El control que conviene hacer siempre
Tres controles gratis: los ángulos suman 180°; la hipotenusa es el lado más largo; y al ángulo más grande de los agudos le toca el cateto más largo enfrente. Y si calculaste un lado con una razón, controlalo con Pitágoras.
Sea ABC un triángulo rectángulo en A con AC = 9 y BC = 15. Resolverlo: hallar AB, ∠ABC y ∠ACB, con los ángulos en grados y minutos.
Qué tengo: un cateto (AC = 9) y la hipotenusa (BC = 15, la opuesta al ángulo recto en A).
El otro cateto, por Pitágoras:
∠ABC: para el ángulo en B, AC es el cateto opuesto y BC la hipotenusa:
En minutos: 0,87·60 ≈ 52, así que ∠ABC ≈ 36° 52′.
∠ACB, por complemento: 90° − 36,87° = 53,13°, o sea ∠ACB ≈ 53° 8′.
Control por otro camino: sen(∠ACB) tiene que ser AB/BC = 12/15 = 0,8, y sen⁻¹(0,8) ≈ 53,13° ✔. Y al ángulo mayor (53°) le queda enfrente el cateto mayor (AB = 12) ✔
Dónde se pierde el punto: calcular sen(∠ABC) como AB/BC, con el cateto que toca a B. El opuesto es el de enfrente.
Desde un punto del suelo a 40 m del pie de un árbol se ve la copa con un ángulo de elevación de 32°. a) Estimar la altura del árbol. b) En ese mismo momento, un poste vertical de 2 m da una sombra de 1,5 m. ¿Cuánto mide la sombra del árbol? c) ¿Con qué ángulo llegan los rayos del sol?
a) La altura. El árbol, el suelo y la visual forman un triángulo rectángulo en el pie del árbol. Del ángulo de 32°, el árbol es el cateto opuesto y los 40 m el adyacente:
b) La sombra, por semejanza. Los rayos del sol llegan paralelos: el poste con su sombra y el árbol con la suya son triángulos semejantes.
c) El ángulo del sol sale del poste: tg θ = 2/1,5 ⟹ θ = tg⁻¹(1,333…) ≈ 53,13°, unos 53° 8′.
Control: con ese ángulo, la sombra del árbol tiene que ser 25/tg(53,13°) ≈ 25/1,333 ≈ 18,75 ✔. Dos caminos, el mismo número.
Dónde se pierde el punto: en a), usar el seno (40·sen 32° ≈ 21,2): el seno pide la hipotenusa, y los 40 m son un cateto. En b), dar vuelta la proporción y obtener 33,3 m.
Dónde se cae la mayoría
- Confundir el cateto opuesto con el adyacente: para ∠ABC, el opuesto es AC, el que no toca a B.
- Tener la calculadora en radianes al calcular sen(40°) o sen⁻¹(0,6).
- Leer 52° 30′ como 52,30°: 30 minutos son medio grado, 52,5°.
- Usar Pitágoras con la hipotenusa como si fuera un cateto: la hipotenusa va sola de su lado.
- En el problema de las sombras, armar la proporción al revés (sombra sobre altura de un lado y altura sobre sombra del otro).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Triángulos rectángulos →Los otros temas de la unidad 3
Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría
- 3.1 Composición de funciones
- 3.2 Función inversa
- 3.3 Exponenciales y logaritmos: gráficos, dominios y ecuaciones
- 3.4 Inversas de exponenciales y logaritmos; modelos
- 3.5 Seno, coseno y tangente: radianes, valores, imagen y extremos
- 3.6 Ecuaciones trigonométricas en un intervalo
- 3.8 Teoremas del seno y del coseno