Matemática (61) · Unidad 3 — Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría

Ecuaciones trigonométricas en un intervalo

Una ecuación trigonométrica casi nunca tiene una sola solución: el seno y el coseno pasan dos veces por cada valor en una vuelta, la tangente una vez cada media vuelta, y después todo se repite. La calculadora da una; la simetría, la segunda; y sumando períodos se barre el intervalo pedido.

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La explicación

Por qué no alcanza con despejar

2x + 3 = 7 tiene una solución. sen x = 1/2 tiene infinitas: el seno pasa dos veces por 1/2 en cada vuelta y las vueltas se repiten. Por eso el enunciado siempre dice dónde: en [0 ; 2π), en [−π ; 3π], en ℝ. Ese intervalo es parte de lo que se evalúa.

Las dos soluciones de cada vuelta

sen x = c: x₀ y π − x₀
cos x = c: x₀ y −x₀ (o 2π − x₀)
tg x = c: una sola por período, x₀

La razón está en la circunferencia. Dos puntos a la misma altura son simétricos respecto del eje y: por eso el seno repite en π − x₀. Dos puntos con la misma sombra sobre el eje x son simétricos respecto del eje x: el coseno repite en −x₀. La tangente, en cambio, repite en el punto opuesto por el centro, x₀ + π, y por eso su período es π.

El x₀ sale de los valores notables con el signo que corresponda. Para sen x = −√2/2: la referencia es π/4 y el seno es negativo en el III y el IV, así que x = 5π/4 y x = 7π/4.

El procedimiento

1. Despejar hasta dejar sola la función: sen x = c.
2. Controlar: si c está fuera de [−1 ; 1] (con seno o coseno), no hay solución y terminaste. La tangente acepta cualquier c.
3. Las de una vuelta: las dos soluciones en [0 ; 2π) (una sola en [0 ; π) si es tangente).
4. Barrer: sumar y restar 2π (π con tangente) a cada una, de a una, mientras caigan en el intervalo pedido. Si los bordes son cerrados, un borde puede ser solución.

Todas las soluciones: en ℝ

Si el intervalo es ℝ, no se puede listar: se escriben las familias con un entero k que cuenta vueltas.

sen x = 1/2 ⟺ x = π/6 + 2kπ o x = 5π/6 + 2kπ
tg x = √3 ⟺ x = π/3 + kπ (k ∈ ℤ)

Cuando adentro hay Bx + C

Con 2 sen(3x − π/2) = 1 no se despeja x directamente. Se trabaja con la variable de adentro:
1. u = 3x − π/2, y se traduce el intervalo: si x ∈ [0 ; π], entonces u ∈ [−π/2 ; 3π − π/2] = [−π/2 ; 5π/2].
2. Se resuelve sen u = 1/2 en ese intervalo nuevo: u = π/6, 5π/6, 13π/6.
3. Se vuelve: x = (u + π/2)/3, o sea 2π/9, 4π/9 y 8π/9.

Traducir el intervalo no es opcional: al multiplicar la x por 3 entran tres vueltas donde antes había una, y sin traducir se pierden soluciones.

Dos formas que esconden una ecuación simple

Factor común. En 2 sen²x + sen x = 0 no se divide por sen x (se perderían las soluciones con sen x = 0). Se factoriza:

sen x·(2 sen x + 1) = 0 ⟺ sen x = 0 o sen x = −1/2

y se resuelven las dos por separado. En [0 ; 2π) dan 0, π, 7π/6 y 11π/6.

Seno por coseno. Como sen(2x) = 2 sen x·cos x, un producto sen x·cos x es sen(2x)/2, y la ecuación pasa a ser de las de Bx con B = 2.

El control que conviene hacer siempre

Reemplazá cada solución en la ecuación original, y contá cruces: dibujá la onda y la recta horizontal del valor buscado sobre el intervalo pedido. Tantos cruces, tantas soluciones. Si contaste cinco y escribiste cuatro, te falta una.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar todos los x del intervalo [−2π ; π] tales que 2cos(x) + 1 = 0.

Despejo: cos x = −1/2. Está en [−1 ; 1], así que hay soluciones.

Las de una vuelta. La referencia es π/3 (cos(π/3) = 1/2), y el coseno es negativo en el II y el III:

x = π − π/3 = 2π/3 y x = π + π/3 = 4π/3

Barro el intervalo [−2π ; π], restando 2π de a una:

2π/3 ✔ (está entre −2π y π)
4π/3 ✘ (se pasa de π) → 4π/3 − 2π = −2π/3 ✔
2π/3 − 2π = −4π/3 ✔
−2π/3 − 2π = −8π/3 ✘ (se pasa de −2π)

Las soluciones son −4π/3, −2π/3 y 2π/3.

Control: cos(−4π/3) = cos(4π/3) = −1/2 ✔, cos(−2π/3) = −1/2 ✔, cos(2π/3) = −1/2 ✔. Y contando: el intervalo mide 3π, una vuelta y media, así que tres soluciones es lo esperable (dos por vuelta).

Dónde se pierde el punto: dar 2π/3 y 4π/3, que son las de [0 ; 2π), sin mirar que el intervalo pedido es otro.

Y uno del nivel del parcial

Hallar los ceros de f(x) = 2sen(2x + π/3) − √3 en el intervalo [0 ; 2π].

Despejo: sen(2x + π/3) = √3/2.

Cambio de variable y traducción del intervalo: u = 2x + π/3. Si 0 ≤ x ≤ 2π, entonces π/3 ≤ u ≤ 4π + π/3 = 13π/3.

Resuelvo sen u = √3/2 en [π/3 ; 13π/3]. Las de una vuelta son π/3 y 2π/3, y sumando 2π:

u = π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3, 13π/3

(14π/3 ya se pasa.) Fijate que el primero y el último son justo los bordes del intervalo, y los bordes están incluidos.

Vuelvo a x: x = (u − π/3)/2.

x = 0, π/6, π, 7π/6, 2π

Son cinco ceros. Control: f(0) = 2 sen(π/3) − √3 = 0 ✔ y f(π) = 2 sen(7π/3) − √3 = 2 sen(π/3) − √3 = 0 ✔. Y la cuenta de cruces cierra: con B = 2 hay dos vueltas de u en [0 ; 2π], dos soluciones por vuelta, más una que cae justo en el borde.

Dónde se pierde el punto: resolver sen u = √3/2 en [0 ; 2π) en lugar del intervalo traducido, y terminar con dos ceros en vez de cinco.

Dónde se cae la mayoría

Dar una sola solución cuando el intervalo tiene varias: es el error más caro del tema.
Usar la simetría del seno (π − x₀) con el coseno, o al revés.
Tomar 2π como período de la tangente: sus soluciones se repiten cada π.
Con un argumento Bx + C, resolver sin traducir el intervalo: se pierden soluciones.
Dividir por sen x (o cos x) en vez de sacar factor común: las soluciones donde vale 0 desaparecen.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El coseno triplicado y un triángulo20 puntos · resuelto paso a paso

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