Matemática (61) · Unidad 3 — Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría

Composición de funciones

Componer es encadenar dos máquinas: lo que sale de una entra en la otra. En f∘g trabaja primero g, la de la derecha, y como el orden importa, f∘g y g∘f casi nunca son la misma función.

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La explicación

Para qué sirve esto

Muchas cuentas de todos los días son dos cuentas seguidas. Un termómetro de laboratorio mide un voltaje, el voltaje se pasa a grados Celsius y los Celsius a Fahrenheit. Una máquina produce unidades por hora y cada unidad tiene un costo. En los dos casos hay una función cuya salida es la entrada de otra, y a esa cadena se la llama composición. Además, casi todas las funciones «difíciles» de la materia —√(3x − 2), e^x², sen(2x + π/3)— son una función simple aplicada a otra, y reconocer esa estructura es lo que después te deja resolver ecuaciones, invertir y derivar.

La definición

(f ∘ g)(x) = f( g(x) )

Se lee «f compuesta con g» y se calcula de adentro hacia afuera: primero actúa g y su resultado entra en f. El orden de escritura engaña, porque la que trabaja primero es la de la derecha. El hábito que lo arregla es escribir siempre la de adentro primero.

1. Escribí la fórmula de f dejando un hueco donde va la x: f( □ ).
2. Meté toda la expresión de g en cada hueco, entre paréntesis.
3. Recién ahí desarrollá y simplificá.
4. Controlá con un número: calculá g(1), después f de ese resultado, y compará con tu fórmula evaluada en 1.

Los paréntesis del paso 2 no son opcionales. Con f(x) = x² y g(x) = x − 4, (f∘g)(x) = (x − 4)², que es x² − 8x + 16 y no x² − 16.

El orden importa

Con f(x) = 2x + 1 y g(x) = x²:

(f ∘ g)(x) = 2x² + 1
(g ∘ f)(x) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1

Son funciones distintas: en x = 1 la primera vale 3 y la segunda 9. La composición no es conmutativa, y que alguna vez coincidan es la excepción.

El dominio de la compuesta: dos permisos

x ∈ Dom(f∘g) ⟺ x ∈ Dom(g) y g(x) ∈ Dom(f)

Con f(x) = 1/(x − 2) y g(x) = √x queda (f∘g)(x) = 1/(√x − 2). El primer permiso pide x ≥ 0 (la raíz). El segundo pide que g(x) no sea el 2 prohibido por f: √x ≠ 2, o sea x ≠ 4. Entonces Dom(f∘g) = [0 ; 4) ∪ (4 ; +∞). Mirá que el 4 no se ve mirando f ni g por separado: aparece recién al componer.

Y al revés: una simplificación no devuelve lo que la función de adentro ya había dejado afuera. Si g no existe en un punto, f∘g tampoco.

Componer rectas da una recta

Si f(x) = m₁x + b₁ y g(x) = m₂x + b₂:

(f∘g)(x) = m₁(m₂x + b₂) + b₁
= m₁m₂·x + (m₁b₂ + b₁)

Sigue siendo lineal, y las pendientes se multiplican. Es lo que pasa al encadenar conversiones de unidades: si una escala crece 0,2 por cada unidad de la otra, y la tercera crece 1,8 por cada unidad de la segunda, la primera contra la tercera crece 0,2 · 1,8 = 0,36.

Cuando una de esas conversiones se da por dos datos, se arma con la pendiente como cociente de diferencias: si f(x₁) = y₁ y f(x₂) = y₂, entonces m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) y f(x) = m(x − x₁) + y₁.

Un parámetro adentro de la compuesta

Si te piden «hallar k para que (g∘f)(1) valga tal cosa», no hace falta la fórmula general: calculá f(1) con la k adentro, meté ese número en g y plantealo igual al dato. Queda una ecuación en k. Si g es cuadrática, la ecuación puede tener dos soluciones, y las dos sirven salvo que el enunciado diga otra cosa.

El control que conviene hacer siempre

Elegí un número cómodo, calculá la cadena a mano (primero la de adentro, después la de afuera) y compará con tu fórmula. Diez segundos, y detecta los dos errores del tema: componer al revés y comerse un paréntesis.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sean f(x) = 4x − 3 y g(x) = x² + 2x. Calcular (f∘g)(x) y (g∘f)(x), y controlar las dos con x = 1.

Planteo: las dos son polinomios, así que el dominio de las dos compuestas es ℝ y todo el trabajo está en reemplazar bien.

f∘g: primero g, después f. En f(□) = 4·□ − 3 meto g(x) entera:

(f∘g)(x) = 4(x² + 2x) − 3 = 4x² + 8x − 3

g∘f: primero f, después g. En g(□) = □² + 2·□ meto f(x) = 4x − 3 en los dos huecos:

(g∘f)(x) = (4x − 3)² + 2(4x − 3)
= 16x² − 24x + 9 + 8x − 6
= 16x² − 16x + 3

Control con x = 1:

g(1) = 3 → f(3) = 9 · fórmula: 4 + 8 − 3 = 9 ✔
f(1) = 1 → g(1) = 3 · fórmula: 16 − 16 + 3 = 3 ✔

Salieron distintas, como casi siempre: en x = 1 una vale 9 y la otra 3.

Dónde se pierde el punto: en g∘f, reemplazar la x del primer término y olvidarse de la del segundo, o desarrollar (4x − 3)² como 16x² + 9. El control con un número atrapa las dos cosas.

Y uno del nivel del parcial

Un sensor de temperatura da una señal en milivoltios que depende linealmente de la temperatura: a 0 °C marca 250 mV y a 40 °C marca 450 mV. a) Hallar la función C que da la temperatura en °C a partir de la señal v en mV. b) Sabiendo que F(c) = 1,8c + 32 da los °F a partir de los °C, hallar la función que da los °F a partir de la señal y decidir si es lineal. c) ¿Qué señal da el sensor cuando la temperatura es de 98,6 °F?

a) Una recta por dos datos. Los datos son pares (señal, temperatura): (250 ; 0) y (450 ; 40). La pendiente es el cociente de las diferencias:

m = (40 − 0)/(450 − 250) = 40/200 = 0,2
C(v) = 0,2(v − 250) = 0,2v − 50

Control: C(250) = 50 − 50 = 0 ✔ y C(450) = 90 − 50 = 40 ✔

b) La cadena señal → °C → °F es F∘C, porque primero actúa C:

(F∘C)(v) = 1,8(0,2v − 50) + 32
= 0,36v − 90 + 32 = 0,36v − 58

Es lineal, como tiene que ser: compuesta de rectas es recta, y la pendiente es el producto 0,2 · 1,8 = 0,36.

c) Al revés: ahora el dato es la salida y la incógnita la entrada. Planteo 0,36v − 58 = 98,6:

0,36v = 156,6 → v = 435 mV

Control por el otro camino: 98,6 °F son (98,6 − 32)/1,8 = 37 °C, y C(v) = 37 da 0,2v = 87, o sea v = 435 ✔

Dónde se pierde el punto: armar C al revés (la señal en función de la temperatura) porque los datos vinieron «0 °C → 250 mV». Leé qué es entrada y qué es salida antes de calcular la pendiente.

Dónde se cae la mayoría

Componer al revés: calcular g(f(x)) cuando piden (f∘g)(x). En f∘g la primera que trabaja es g.
Reemplazar sin paréntesis: escribir (x − 4)² como x² − 16.
Multiplicar f(x)·g(x) en lugar de componer. Componer es meter una adentro de la otra, no multiplicarlas.
Dar el dominio de f∘g leyendo sólo la fórmula final, sin pedir que g(x) caiga en el dominio de f.
Con un parámetro que aparece al cuadrado, quedarse con una sola de las dos soluciones.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El logaritmo de una parábola20 puntos · resuelto paso a paso

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