Matemática (61) · Unidad 2 — Funciones: generalidades, lineales, cuadráticas y polinómicas
Polinomios: ceros, armar uno con datos, y gráficos corridos
Un polinomio factorizado muestra sus ceros, y al revés: con los ceros y un valor más se arma el polinomio. Y cambiar la fórmula de una manera fija mueve el gráfico de una manera fija: restar adentro corre a la derecha, sumar afuera sube, el menos adelante lo da vuelta.
La explicación
Ceros de un polinomio: factorizar
Los ceros de un polinomio son las soluciones de f(x) = 0, y la herramienta es la de siempre: un producto es cero cuando alguno de sus factores lo es. Para un polinomio de grado 3 sin término independiente, el primer paso es el factor común:
= x(x + 4)(x − 3)
ceros: {−4, 0, 3}
A veces el factor cuadrático que queda no tiene raíces (Δ < 0) y el único cero es el 0: el gráfico cruza el eje x una sola vez. Un polinomio de grado 3 puede tener 1, 2 o 3 ceros, nunca más.
Armar el polinomio con sus ceros y un valor
Si un polinomio de grado 3 tiene ceros x₁, x₂, x₃, entonces se escribe
y el único número que falta es a, el coeficiente principal. Los ceros no alcanzan para encontrarlo: x(x − 1)(x + 2) y 5x(x − 1)(x + 2) tienen los mismos ceros. Hace falta un valor más:
2. Reemplazá el x del valor dato y despejá a.
3. Controlá con un cero y con el dato.
«Corta al eje x en (−1, 0)» es lo mismo que «−1 es un cero»: el punto de corte con el eje x es un cero con su y = 0.
Gráficos corridos, reflejados y estirados
Con el gráfico de una función conocida (x² o x³) se obtienen los de muchas otras sin hacer tablas, porque cada cambio en la fórmula mueve el dibujo de una forma fija:
f(x + h): se corre h a la izquierda
f(x) + k: sube k · f(x) − k: baja k
−f(x): se refleja respecto del eje x
a·f(x), a > 1: se estira verticalmente
a·f(x), 0 < a < 1: se achica
El que confunde es el primero: restar adentro corre a la derecha. Se entiende pensando en dónde queda el punto importante: (x − 2)³ vale 0 cuando x = 2, así que el punto que para x³ estaba en el 0 ahora está en el 2.
Se combinan: g(x) = 2(x − 1)² + 3 es x² corrida 1 a la derecha, estirada al doble y subida 3; su vértice es (1, 3) y es más angosta que x². Y h(x) = −(x − 1)³ es x³ corrida 1 a la derecha y dada vuelta: donde x³ crecía, h decrece.
El control que conviene hacer siempre
Después de armar un polinomio, evaluá en un cero (tiene que dar 0) y en el dato (tiene que dar lo pedido). En un gráfico corrido, seguí un punto: el vértice de x², (0, 0), o el centro de x³, (0, 0), y fijate a dónde fue a parar con la fórmula nueva.
Hallar todos los ceros de f(x) = x^3 − 3x^2 − 10x.
No hay término independiente: todos los términos tienen x, así que se saca de factor común.
El factor cuadrático se factoriza buscando dos números que multiplicados den −10 y sumados −3: son −5 y 2.
Con la resolvente: Δ = 9 + 40 = 49, x = (3 ± 7)/2, que da 5 y −2 ✔.
ceros: {−2, 0, 5}
Control: f(5) = 125 − 75 − 50 = 0 ✔ y f(−2) = −8 − 12 + 20 = 0 ✔.
Dónde se pierde el punto: «dividir por x» para quedarse con la cuadrática y perder el cero x = 0. Dividir por x sólo se puede si x ≠ 0, y justamente el 0 es solución.
a) Armar el polinomio f, de grado 3, con ceros −3, 1 y 4 y tal que f(2) = 20. b) Describir cómo se obtiene el gráfico de g(x) = (x + 1)^3 − 2 a partir del de x^3, y dar el punto al que va a parar el (0, 0).
a) Con los ceros, la forma factorizada:
El valor da a:
f(x) = −2(x + 3)(x − 1)(x − 4). Control: f(1) = 0 ✔ y f(2) = −2·5·1·(−2) = 20 ✔. El coeficiente negativo dice que, para x muy grande, f es muy negativa: el gráfico termina bajando.
b) Adentro hay x + 1: se corre 1 a la izquierda. Afuera hay −2: baja 2. El punto (0, 0) de x³ va a parar a (−1, −2): efectivamente, g(−1) = 0³ − 2 = −2 ✔.
Dónde se pierde el punto: en a), escribir el factor del −3 como (x − 3), que cambia todo el polinomio; en b), correr a la derecha por el «+1».
Dónde se cae la mayoría
- Cancelar la x en vez de sacarla de factor común, y perder el cero x = 0.
- Armar el polinomio con los ceros y olvidar el coeficiente a.
- Escribir el factor del cero −3 como (x − 3).
- Leer f(x − 2) como corrida a la izquierda: restar adentro corre a la derecha.
- Confundir −f(x) (reflejo respecto del eje x) con f(x) − 1 (bajar una unidad).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Polinomios: ceros, armar uno con datos, y gráficos corridos →Los otros temas de la unidad 2
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