Matemática (61) · Unidad 2 — Funciones: generalidades, lineales, cuadráticas y polinómicas
Hallar la cuadrática, intersecar y problemas
Para armar una cuadrática se elige la forma que usa los datos: con el vértice, la canónica; con los ceros, la factorizada. Y en un problema, el máximo de un área que es una parábola está en el vértice: no hace falta derivar.
La explicación
Elegir la forma según los datos
Una cuadrática tiene tres números que determinar. La idea es escribirla en la forma donde los datos entran directo, y usar el dato que sobra para hallar a:
Los ceros x₁, x₂ y un valor: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), y el valor da a.
El conjunto de positividad (x₁ ; x₂) y la imagen: los bordes son los ceros; como es positiva entre ellos, a < 0; la abscisa del vértice es el promedio de los ceros y la imagen da su altura.
El intervalo de crecimiento y la imagen: el borde del intervalo es x_v, la imagen da y_v, y el sentido del crecimiento da el signo de a.
f(x) = a(x − 1)(x − 5), x_v = 3
f(3) = a·2·(−2) = −4a = 8 → a = −2
Siempre, al final: controlá el signo de a contra lo que el enunciado dice de la forma (si abre para abajo, a tiene que haber dado negativo).
Intersecar: parábola con recta, parábola con parábola
Como con dos rectas, se igualan: f(x) = g(x). Pero ahora queda una ecuación cuadrática, así que puede haber dos, uno o ningún punto de corte.
2. Resolvé (factorizando o con la resolvente).
3. Para cada x, calculá la y en cualquiera de las dos funciones.
4. Si las dos parábolas tienen el mismo coeficiente de x², se cancela y queda una ecuación lineal: un solo punto.
Problemas: evaluar, despejar, maximizar
Cuando una magnitud se modela con una cuadrática (un precio que depende del tamaño, un costo que suma área y perímetro, un área con perímetro fijo), aparecen tres preguntas:
- «¿Cuánto vale para tal x?»: se evalúa.
- «¿Para qué x vale tanto?»: es una cuadrática igualada a un número. Puede dar dos soluciones, y hay que descartar las que no tienen sentido (una longitud negativa).
- «¿Cuál es el máximo?»: si la cuadrática abre hacia abajo, el máximo es la altura del vértice, y se alcanza en x_v.
El ejemplo clásico: la ventana. Con 4 m de marco, si la base mide x, las dos alturas suman 4 − 2x y cada una mide 2 − x. El área es A(x) = x(2 − x) = −x² + 2x, una parábola que abre hacia abajo con vértice en x = 1: el área máxima es A(1) = 1 m², y se logra con una ventana cuadrada. Más adelante, en la unidad 6, este mismo máximo se calcula con derivadas y da lo mismo: el vértice es el caso más simple de la optimización.
Un área que se pide y que supera ese máximo no es posible: la ecuación da Δ < 0.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá todos los datos en la cuadrática que armaste, no sólo el que usaste para a: si el vértice era (3, 4), f(3) tiene que dar 4. En un problema, reemplazá el resultado en el enunciado: una ventana de base 0,6 y altura 1,4 usa 2·0,6 + 2·1,4 = 4 m de marco ✔.
Hallar la función cuadrática f cuyo gráfico tiene vértice V = (3, 4) y pasa por el punto (1, −4). Escribirla también en forma polinómica.
El dato es el vértice: se usa la forma canónica.
El punto da a: f(1) = −4.
4a = −8 → a = −2
f(x) = −2(x − 3)² + 4. Abre hacia abajo, y tiene sentido: el vértice está en 4 y el otro punto, más abajo, en −4.
Polinómica: −2(x² − 6x + 9) + 4 = −2x² + 12x − 14.
Control: con la polinómica, x_v = −12/(−4) = 3 y f(3) = −18 + 36 − 14 = 4 ✔; y f(1) = −2 + 12 − 14 = −4 ✔. Por simetría, también f(5) = −4.
Dónde se pierde el punto: escribir la canónica como a(x + 3)² + 4, con el signo del vértice cambiado. La forma es a(x − x_v)², así que con x_v = 3 va (x − 3).
a) Hallar la cuadrática f cuyo conjunto de positividad es (−2 ; 4) y cuya imagen es (−∞ ; 18]. b) Hallar los puntos donde el gráfico de f corta a la recta y = 2x + 4.
a) Los bordes de la positividad son los ceros: −2 y 4. Como es positiva entre ellos, abre hacia abajo: a < 0.
La abscisa del vértice es el promedio de los ceros, x_v = 1, y la imagen dice que el máximo vale 18:
f(x) = −2(x + 2)(x − 4) = −2x² + 4x + 16. Negativo, como tenía que ser ✔
b) Se iguala con la recta:
−2x² + 2x + 12 = 0
x² − x − 6 = 0 → (x − 3)(x + 2) = 0
x = 3 da y = 2·3 + 4 = 10; x = −2 da y = 0. Los puntos son (3, 10) y (−2, 0). Control en f: f(3) = −18 + 12 + 16 = 10 ✔ y f(−2) = 0, que es un cero ✔.
Dónde se pierde el punto: en a), tomar a = 2 por no pensar en el signo: la parábola quedaría abriendo hacia arriba, con imagen [−18 ; +∞), que no es la pedida.
Dónde se cae la mayoría
- Con los ceros como dato, olvidarse de la a y escribir f(x) = (x − x₁)(x − x₂): falta usar el valor que da el enunciado.
- Desde la positividad (x₁ ; x₂), tomar a > 0: si es positiva entre los ceros, abre hacia abajo.
- Al intersecar, dar sólo las x de los cortes, sin las y.
- En un problema, quedarse con la solución negativa de la cuadrática, que no tiene sentido como longitud.
- Buscar el máximo del área probando valores en vez de ir al vértice.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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