Matemática (61) · Unidad 2 — Funciones: generalidades, lineales, cuadráticas y polinómicas
Intersección y comparación de rectas; problemas de tarifas
Dos rectas se cortan donde f(x) = g(x). Ese punto parte la recta real en dos: de un lado f queda arriba y del otro abajo. En una tarifa, es la cantidad a partir de la cual conviene cambiar de plan.
La explicación
Dónde se cortan dos rectas
Dos gráficos se cortan en un punto (x, y) que está en los dos a la vez: tiene que cumplir y = f(x) e y = g(x) a la vez. Entonces se iguala:
2. Igualá f(x) = g(x) y despejá x.
3. Reemplazá ese x en cualquiera de las dos para obtener y.
4. El punto es (x, y). Controlalo en la otra.
Si las dos tienen la misma pendiente y distinta ordenada, al igualar la x se cancela y queda algo falso: son paralelas y no se cortan. Si tienen la misma pendiente y la misma ordenada, son la misma recta.
x + 4 = −3x + 12 → 4x = 8 → x = 2
y = 2 + 4 = 6 → punto (2, 6)
El conjunto {f ≤ g}
{x ∈ ℝ / f(x) ≤ g(x)} son los x donde el gráfico de f está por debajo o a la par del de g. Se resuelve como inecuación lineal: se pasa todo a un lado y se despeja, con la regla del signo.
Mirado en el gráfico: a un lado del punto de corte manda una recta y al otro la otra. El corte es el borde del conjunto, y entra si la desigualdad es ≤ o ≥.
Problemas de tarifas: la función lineal en la vida real
Una tarifa con cargo fijo más un precio por unidad es una función lineal:
La ordenada al origen es el cargo fijo (lo que pagás aunque no consumas nada) y la pendiente es lo que suma cada unidad. Con esto se contestan dos preguntas típicas:
- «¿Cuánto paga si consume tanto?» se evalúa: costo(x).
- «¿Cuánto consumió si pagó tanto?» se despeja x de costo(x) = lo pagado.
Dos planes: cuándo conviene cada uno
2. Igualalos: el x que sale es la cantidad donde los dos cuestan lo mismo.
3. Probá un valor de cada lado de ese x: el plan más barato de un lado es el más caro del otro.
4. Contestá con palabras y con intervalos: «para menos de 15 km conviene B; para más, A».
El plan con cargo fijo arranca más caro pero crece más despacio (pendiente menor): por eso conviene cuando se consume mucho.
El control que conviene hacer siempre
El punto de corte tiene que cumplir las dos ecuaciones: reemplazalo en la que no usaste para calcular y. En un problema, calculá el costo de los dos planes en el punto de equilibrio: tienen que dar el mismo número. Si no, hay un error en la igualación.
Sea f(x) = 3x − 2, y sea g la función lineal cuyo gráfico tiene pendiente −1 y ordenada al origen 6. Hallar el punto donde se cortan los dos gráficos y escribir como intervalo el conjunto {x ∈ ℝ / f(x) ≤ g(x)}.
Primero g: pendiente −1 y ordenada 6, así que g(x) = −x + 6.
Se igualan:
4x = 8 → x = 2
y = f(2) = 6 − 2 = 4
El punto es (2, 4). Control en g: g(2) = −2 + 6 = 4 ✔
El conjunto: 3x − 2 ≤ −x + 6 → 4x ≤ 8 → x ≤ 2. Dividir por 4 no da vuelta nada.
Lectura en el gráfico: f sube (pendiente 3) y g baja (pendiente −1), así que a la izquierda del cruce f está abajo. El 2 entra porque ahí son iguales.
Control: x = 0 da f(0) = −2 ≤ 6 = g(0) ✔; x = 3 da 7 ≤ 3, falso ✔.
Dónde se pierde el punto: escribir g(x) = 6x − 1, cambiando de lugar la pendiente y la ordenada. La pendiente es el número que multiplica a la x.
Un flete A cobra 1200 pesos fijos más 60 pesos por kilómetro; un flete B no cobra fijo pero cobra 140 pesos por kilómetro. a) ¿Cuánto cobra cada uno por 10 km? b) ¿Para cuántos kilómetros cobran lo mismo? c) ¿Cuándo conviene cada uno?
Las dos funciones, con x en kilómetros:
a) A(10) = 1200 + 600 = 1800; B(10) = 1400. Para 10 km conviene B.
b) Se igualan: 1200 + 60x = 140x → 1200 = 80x → x = 15 km. Control: A(15) = 1200 + 900 = 2100 y B(15) = 2100 ✔
c) Para 10 km (antes del cruce) convenía B. Del otro lado, con 20 km: A(20) = 2400 y B(20) = 2800, conviene A.
exactamente 15 km: da lo mismo
Tiene sentido: A arranca con 1200 de desventaja, pero cada kilómetro le sale 80 pesos más barato que a B, y esa ventaja se come el fijo en 1200/80 = 15 km.
Dónde se pierde el punto: contestar «conviene A» sin decir desde cuándo. La pregunta es un intervalo, no un plan.
Dónde se cae la mayoría
- Encontrar la x del corte y dar sólo eso: el punto de intersección tiene dos coordenadas.
- En {f ≤ g}, dividir por un negativo sin dar vuelta la desigualdad.
- Confundir el cargo fijo con el precio por unidad: el fijo es la ordenada, el precio es la pendiente.
- Decidir qué plan conviene probando un solo valor: hay que mirar los dos lados del punto de equilibrio.
- Contestar «cuánto se pagó» cuando se preguntaba «cuánto se consumió».
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Intersección y comparación de rectas; problemas de tarifas →Los otros temas de la unidad 2
Funciones: generalidades, lineales, cuadráticas y polinómicas