Matemática (61) · Unidad 2 — Funciones: generalidades, lineales, cuadráticas y polinómicas
Qué es una función: leer gráficos, dominio e imagen
Una función le asigna a cada x de su dominio un único valor f(x). Un gráfico en contexto se lee con esa idea: el eje horizontal es el tiempo, el vertical la magnitud, y cada pregunta es un corte horizontal o vertical del dibujo.
La explicación
Qué es una función
Una función f es una regla que a cada número x de un conjunto, su dominio, le asigna un único número f(x). La altura de un dron a lo largo de un vuelo, la temperatura de un horno durante el secado, el precio de un flete según los kilómetros: en cada instante hay un valor, y uno solo.
Evaluar es reemplazar: si f(x) = −x² + 5x − 1, entonces f(−3) = −(−3)² + 5·(−3) − 1 = −9 − 15 − 1 = −25. Ojo con el −x²: primero se eleva y después va el signo, así que −(−3)² es −9, no 9.
Leer un gráfico en contexto
Cada pregunta sobre un gráfico es un corte:
- «¿Cuánto vale a tal tiempo?» es un corte vertical: se sube desde el tiempo hasta la curva y se lee la altura.
- «¿Cuántas veces estuvo a tal altura?» es un corte horizontal: se traza la recta y = altura y se cuentan los cruces con la curva.
- «¿Cuándo sube, baja o se mantiene?» se lee de izquierda a derecha: sube donde la curva crece, baja donde decrece, y un tramo horizontal (una meseta) es valor constante.
- El máximo es la mayor altura que alcanza, y «cuánto tiempo estuvo ahí» es el largo de la meseta.
Mirá bien la escala de cada eje antes de leer: si cada cuadradito es 5 minutos de ancho y 10 metros de alto, dos cuadraditos a la derecha son 10 minutos.
Ceros, positividad, crecimiento
Los ceros son los x donde f(x) = 0: donde la curva toca el eje x. El conjunto de positividad son los x donde f(x) > 0 (curva arriba del eje) y el de negatividad, donde f(x) < 0. Los intervalos de crecimiento son los tramos donde la curva sube. Todo se escribe como intervalo o unión de intervalos.
El dominio natural
Si sólo te dan la fórmula, el dominio es el de todos los x con los que la cuenta se puede hacer. En esta unidad hay dos prohibiciones:
2. Raíces cuadradas: lo de adentro tiene que ser ≥ 0. Se resuelve esa inecuación.
3. Si hay varias condiciones, el dominio es la intersección de todas: tienen que cumplirse a la vez.
4. Una raíz en el denominador pide las dos cosas juntas: lo de adentro > 0, estrictamente.
3x − 6 ≥ 0 → x ≥ 2 · x ≠ 5
Dom(f) = [2 ; 5) ∪ (5 ; +∞)
¿Un número está en la imagen?
La imagen Im(f) son todos los valores que f alcanza. Para saber si un b ∈ Im(f) se plantea la ecuación f(x) = b y se busca un x del dominio que la cumpla. Si existe, b está; si la ecuación no tiene solución en el dominio, no está.
2x + 3 = 2x − 2 → 3 = −2: imposible
2 ∉ Im(f)
Con raíces sirve mirar el signo: √(algo) nunca es negativa, así que 5 − √(x − 1) nunca pasa de 5.
El control que conviene hacer siempre
Si encontraste un x con f(x) = b, reemplazalo y fijate que dé b y que x esté en el dominio. Y en un dominio, probá un número de cada tramo en la fórmula: si la cuenta no se puede hacer con uno que pusiste adentro, el dominio está mal.
Sea f(x) = (3x − 1)/(x + 2). a) Hallar Dom(f). b) Decidir si 3 ∈ Im(f) y si −1 ∈ Im(f).
a) Dominio. La única prohibición es el denominador: x + 2 = 0 en x = −2.
b) ¿3 ∈ Im(f)? Se plantea f(x) = 3 y se busca x:
3x − 1 = 3x + 6
−1 = 6
Imposible: ningún x del dominio da 3. 3 ∉ Im(f). Es la altura de la asíntota horizontal, que se va a ver en la unidad 4: la función se le acerca y nunca llega.
¿−1 ∈ Im(f)?
3x − 1 = −x − 2
4x = −1 → x = −1/4
x = −1/4 está en el dominio (no es −2). −1 ∈ Im(f).
Control: f(−1/4) = (−3/4 − 1)/(−1/4 + 2) = (−7/4)/(7/4) = −1 ✔
Dónde se pierde el punto: multiplicar por x + 2 sólo el 3 del segundo miembro y no los dos términos, o no mirar si el x que salió es el prohibido.
a) Hallar el dominio de g(x) = √(x + 2) + √(6 − 2x) y de h(x) = √(3x)/(x − 4). b) Sea k(x) = 2 + √(5 − x). Decidir si 1 ∈ Im(k) y si 6 ∈ Im(k), y dar Im(k).
a) g: dos raíces, dos condiciones que tienen que valer a la vez.
6 − 2x ≥ 0 → x ≤ 3
Dom(g) = [−2 ; 3]
h: una raíz arriba y un denominador. 3x ≥ 0 da x ≥ 0, y x − 4 ≠ 0 saca el 4:
b) ¿1 ∈ Im(k)? 2 + √(5 − x) = 1 pide √(5 − x) = −1. Una raíz cuadrada nunca es negativa: 1 ∉ Im(k).
¿6 ∈ Im(k)? 2 + √(5 − x) = 6 → √(5 − x) = 4 → 5 − x = 16 → x = −11, que está en el dominio (−∞ ; 5]. 6 ∈ Im(k). Control: 2 + √16 = 6 ✔.
La imagen entera: √(5 − x) toma todos los valores de [0 ; +∞), así que 2 + √(5 − x) toma todos los de [2 ; +∞). Im(k) = [2 ; +∞): el mínimo es 2, en x = 5.
Dónde se pierde el punto: en g, unir las condiciones y contestar ℝ; en b), elevar al cuadrado √(5 − x) = −1 y «encontrar» x = 4, que no cumple la ecuación original: 2 + √1 = 3, no 1.
Dónde se cae la mayoría
- Evaluar −x² en un negativo como si fuera (−x)²: −(−2)² es −4.
- Leer «cuántas veces estuvo a tal altura» con un corte vertical en vez de horizontal.
- Unir las condiciones del dominio en vez de intersecarlas: tienen que cumplirse todas a la vez.
- Con una raíz en el denominador, dejar el extremo que anula la raíz: ahí se divide por cero.
- Contestar que b está en la imagen sin revisar que el x encontrado esté en el dominio.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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Funciones: generalidades, lineales, cuadráticas y polinómicas