Matemática (61) · Unidad 1 — Números reales
El plano: puntos, simétricos, regiones y distancias
Un punto del plano son dos números, y casi todo lo que se pregunta sobre él se contesta con dos herramientas: cambiar signos (simétricos) y Pitágoras (distancias). Los puntos a distancia dada de otro forman una circunferencia; los que equidistan de dos, una recta.
La explicación
Coordenadas y simétricos
Un punto P = (a, b) tiene abscisa a (cuánto se corre a la derecha) y ordenada b (cuánto sube). Los ejes parten el plano en cuatro cuadrantes: el primero es donde x > 0 e y > 0, y se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
Reflejar un punto es cambiar el signo de una coordenada:
simétrico respecto del eje x: (a, −b)
simétrico respecto del eje y: (−a, b)
simétrico respecto del origen: (−a, −b)
El truco para no confundirlos: respecto del eje x, el punto se refleja por encima o por debajo del eje x, así que lo que cambia es la altura, la y. Un punto que está sobre el eje es su propio simétrico respecto de ese eje.
Regiones del plano
Una condición sobre las coordenadas describe un conjunto de puntos:
- {(x, y) / x = 3}: todos los puntos de abscisa 3, una recta vertical.
- {(x, y) / x ≥ 0}: el semiplano a la derecha del eje y, con el eje incluido.
- {(x, y) / x < 0 e y > 0}: el segundo cuadrante, sin los ejes.
- {(x, y) / −2 ≤ y < 3}: una franja horizontal entre y = −2 (incluida) e y = 3 (sin incluir).
Lo que no se nombra no tiene restricción: en la franja, la x puede ser cualquier número, y por eso la franja se extiende hacia los dos costados.
La distancia entre dos puntos
Es Pitágoras: el segmento PQ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la diferencia de abscisas y la de ordenadas. Por eso el signo de las restas no importa: se elevan al cuadrado. El perímetro de un polígono es la suma de las distancias entre vértices consecutivos.
Puntos a distancia dada: la circunferencia
Los puntos a distancia r de C = (c₁, c₂) cumplen (x − c₁)² + (y − c₂)² = r²: forman la circunferencia de centro C y radio r. Si además se pide que estén sobre el eje x, se pone y = 0 y queda una ecuación en x sola:
2. (x − c₁)² + c₂² = r², o sea (x − c₁)² = r² − c₂².
3. Si r² − c₂² > 0 hay dos puntos; si es 0, uno; si es negativo, ninguno: la circunferencia no llega al eje, porque el centro está a una altura |c₂| mayor que el radio.
Con C = (2, 3) y r = 5: (x − 2)² = 25 − 9 = 16, x = 2 ± 4, los puntos (−2, 0) y (6, 0). Con C = (1, −4) y r = 3: (x − 1)² = 9 − 16 < 0, ninguno.
Si los puntos tienen otra forma, como los de una recta, (a, 3 − a), o una familia como (a, a²), se reemplaza esa forma en la distancia y queda una ecuación en a (con una recta, una cuadrática). Puede tener dos, una o ninguna solución.
Los que equidistan de dos puntos: la mediatriz
Los puntos (x, y) que están a la misma distancia de A y de B cumplen d((x, y), A)² = d((x, y), B)². Al desarrollar, los x² y los y² se cancelan y queda la ecuación de una recta: la mediatriz del segmento AB, que pasa por su punto medio y es perpendicular a él.
El control que conviene hacer siempre
Un punto que encontraste a distancia r, reemplazalo en la fórmula de la distancia: tiene que dar r. Y en la mediatriz, el punto medio de AB, ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2), tiene que cumplir tu ecuación: si no la cumple, hay un signo mal.
Calcular el perímetro del triángulo de vértices A = (−2, −1), B = (4, −1) y C = (4, 7), y decidir si es rectángulo.
Planteo: el perímetro es la suma de los tres lados, y cada lado es la distancia entre dos vértices.
d(B, C) = √(0² + 8²) = 8
d(A, C) = √(6² + 8²) = √100 = 10
AB es horizontal (misma ordenada) y BC es vertical (misma abscisa): esas dos distancias salen sin raíz.
Perímetro: 6 + 8 + 10 = 24.
¿Es rectángulo? AB horizontal y BC vertical se cortan en ángulo recto en B. Y lo confirma Pitágoras: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². El ángulo recto está en B, y AC es la hipotenusa.
Control: la hipotenusa tiene que ser el lado más largo, y lo es; y la suma de dos lados cualesquiera tiene que superar al tercero: 6 + 8 > 10 ✔.
Dónde se pierde el punto: en d(A, C), restar 4 − 2 = 2 en vez de 4 − (−2) = 6. Con el signo mal el lado da √68 y el triángulo deja de cumplir Pitágoras.
a) ¿Qué puntos del eje x distan 10 de P = (−2, 6)? b) ¿Hay algún punto del eje x a distancia 4 de Q = (3, −5)? c) Dar el simétrico de P respecto de cada eje y respecto del origen.
a) Los puntos del eje x son (x, 0). La distancia a P tiene que ser 10:
(x + 2)² = 64
x + 2 = 8 ó x + 2 = −8
Hay dos: (6, 0) y (−10, 0). Control: de (6, 0) a P hay 8 de ancho y 6 de alto, y √(64 + 36) = 10 ✔.
b) Mismo planteo con Q: (x − 3)² + 25 = 16, o sea (x − 3)² = −9. Un cuadrado no puede ser negativo: no hay ninguno. Gráficamente: Q está a 5 del eje x y el radio es 4, así que la circunferencia no llega al eje.
c) Simétricos de P = (−2, 6):
origen: (2, −6)
Dónde se pierde el punto: en a), contestar sólo x = 6 olvidando el −8; en b), hacer la cuenta con (x − 3)² = 16 − 25 y «sacar la raíz» de −9.
Dónde se cae la mayoría
- Cambiar la coordenada equivocada: el simétrico respecto del eje x cambia la y, no la x.
- Olvidarse de elevar al cuadrado una resta negativa, o restar coordenadas de distinto tipo (una x con una y).
- Contestar un solo punto del eje x cuando la ecuación (x − c)² = k da dos.
- Buscar puntos del eje x a distancia r cuando el centro está más alto que r: no hay ninguno, y la cuenta lo dice con un cuadrado igualado a un negativo.
- En la mediatriz, no desarrollar los cuadrados completos y perder el doble producto.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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