Matemática (61) · Unidad 1 — Números reales
Módulo y distancia en la recta
|x − c| es la distancia entre x y c. Leído así, |x − c| < r son los puntos que están a menos de r del centro c: un intervalo. Y |x − c| > r son los que están lejos: dos pedazos, uno a cada lado.
La explicación
El módulo es una distancia
La definición dice que |x| = x si x ≥ 0 y |x| = −x si x < 0. Es correcta, pero la que sirve para resolver es otra: |x| es la distancia de x al 0. |6| = 6 y |−6| = 6 porque los dos están a 6 pasos del origen. Y más en general:
|x + 2| = |x − (−2)| = distancia entre x y −2
Por eso «los números cuya distancia a −1 es menor o igual que 4» se escribe |x + 1| ≤ 4. Ojo con el signo del centro: en |x + 2| el centro es −2, no 2.
Ecuaciones: |x − c| = r
- Si r > 0: dos soluciones, una a cada lado del centro: x = c − r y x = c + r.
- Si r = 0: una sola, x = c.
- Si r < 0: ninguna. Ninguna distancia es negativa. |x| = −3 no se resuelve: se contesta ∅.
Si el módulo viene acompañado, primero se lo despeja: |x + 3| − 1 = 4 → |x + 3| = 5 → x = −8 o x = 2.
Inecuaciones: cerca o lejos del centro
(un intervalo: cerca del centro)
|x − c| > r → x < c − r ó x > c + r
(una unión: lejos del centro)
Con ≤ o ≥ los extremos entran. Y los casos con r negativo se contestan sin cuentas: |x| < −2 es ∅ (ninguna distancia es menor que un negativo) y |x| ≥ −2 es ℝ (toda distancia lo es).
El procedimiento cuando la x viene multiplicada
2. Si del otro lado queda un negativo, contestá directamente (∅ o ℝ según el signo de la desigualdad).
3. Si es menor: abrí la doble, −r < expresión < r, y despejá en los tres miembros.
4. Si es mayor: partí en dos, expresión < −r ó expresión > r, resolvé cada una y uní.
−4 < 3x − 2 < 4
−2 < 3x < 6 → (−2/3 ; 2)
Fijate que el centro del resultado, 2/3, es donde se anula lo de adentro, 3x − 2: siempre pasa, y sirve de control.
El control que conviene hacer siempre
El centro (donde se anula lo de adentro del módulo) tiene que estar adentro del resultado si la desigualdad es «menor», y afuera si es «mayor». Y probá un extremo: en |3x − 2| < 4 con x = 2 queda |4| = 4, que no es menor que 4, así que el 2 va con paréntesis.
Escribir como intervalo el conjunto {x ∈ ℝ / |2x + 1| < 7} y dar su centro y su radio.
Planteo: el módulo ya está despejado y del otro lado hay un positivo. «Menor» quiere decir «cerca»: se abre la doble.
Se despeja en los tres miembros: restando 1 y dividiendo por 2 (positivo, no da vuelta nada).
−4 < x < 3
El conjunto es (−4 ; 3). Los extremos no entran porque la desigualdad es estricta.
Centro y radio: el centro es el punto medio, (−4 + 3)/2 = −1/2, y el radio la mitad del largo, 7/2. Se ve también en la expresión: |2x + 1| = 2·|x + 1/2|, así que |2x + 1| < 7 es |x + 1/2| < 7/2.
Control: x = 0 (adentro): |1| = 1 < 7 ✔. x = 3 (el borde): |7| = 7, no es menor que 7 ✔. x = 4 (afuera): |9| = 9 ✔.
Dónde se pierde el punto: tomar como radio el 7 y como centro el −1, sin dividir por el 2 que acompaña a la x. Da (−8 ; 6), que tiene el doble del largo.
a) Resolver |x + 4| − 3 = 5. b) Escribir como unión de intervalos {x ∈ ℝ / |x − 1| ≥ 4}. c) Resolver |3 − x| + 6 < 2.
a) Primero se despeja el módulo: |x + 4| = 8. Distancia 8 al −4:
Control: |4 + 4| − 3 = 5 ✔ y |−12 + 4| − 3 = 8 − 3 = 5 ✔.
b) «Mayor o igual» es lejos del 1: a 4 o más de distancia.
(−∞ ; −3] ∪ [5 ; +∞)
Control: el centro, 1, queda afuera (su distancia a sí mismo es 0) ✔; el −3 entra, porque |−4| = 4 ≥ 4 ✔.
c) Despejar primero: |3 − x| < −4. Un módulo es siempre ≥ 0, y nunca es menor que un negativo. Solución: ∅, sin ninguna cuenta más.
Dónde se pierde el punto: en c), abrir la doble −(−4) < 3 − x < −4, que da 4 < 3 − x < −4: un sinsentido que algunos igual «resuelven». Cuando del otro lado queda un negativo, se contesta mirando el signo.
Dónde se cae la mayoría
- Contestar x = 3 y x = −3 para |x| = −3: ninguna distancia es negativa, la respuesta es ∅.
- Leer el centro de |x + 2| como 2: es −2.
- Escribir |x| > 5 como −5 < x < 5: eso es «cerca»; «mayor» es lejos, dos pedazos.
- Abrir la doble sin despejar primero el módulo: en |x + 2| − 5 < −1 hay que pasar el 5 antes.
- Dividir sólo el miembro del medio al despejar en la doble.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Módulo y distancia en la recta →Los otros temas de la unidad 1
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