Matemática (61) · Unidad 1 — Números reales
Inecuaciones lineales y conjuntos por condiciones
Una inecuación lineal se despeja como una ecuación, con una sola regla nueva: multiplicar o dividir por un negativo da vuelta la desigualdad. Y a veces la x se cancela: entonces la respuesta es todo ℝ o nada.
La explicación
En qué se diferencia de una ecuación
La ecuación 2x + 1 = 7 tiene una solución. La inecuación 2x + 1 > 7 tiene infinitas: todos los x mayores que 3. Por eso la respuesta de una inecuación es un conjunto, y se escribe como intervalo: (3 ; +∞).
Lo que se puede hacer y lo que da vuelta
- Sumar o restar lo mismo a los dos miembros no cambia nada.
- Multiplicar o dividir por un número positivo tampoco.
- Multiplicar o dividir por un número negativo da vuelta la desigualdad: < pasa a >, ≤ pasa a ≥.
La tercera se ve con números: −2 < 5, pero multiplicando por −1 queda 2 y −5, y 2 > −5. Multiplicar por un negativo refleja la recta, y lo que estaba a la izquierda pasa a la derecha. Ojo: se da vuelta sólo si el número por el que multiplicás es negativo. En 4x < −8 se divide por 4, positivo: x < −2, sin dar vuelta nada.
El procedimiento
2. Distribuí y juntá las x de un lado y los números del otro.
3. Te queda a·x < b (o con ≤, >, ≥). Dividí por a, y si a es negativo, da vuelta.
4. Escribí la solución como intervalo.
Un ejemplo con fracciones: (x − 1)/4 + x > (3x + 2)/2. Por 4: x − 1 + 4x > 2(3x + 2), o sea 5x − 1 > 6x + 4, y pasando las x a la derecha, −5 > x: (−∞ ; −5). El truco del paso 2: pasar las x al lado donde quedan con coeficiente positivo, y así no hay que dar vuelta nada.
Cuando la x se cancela: ∅ o ℝ
Si al juntar las x el coeficiente da 0, la inecuación se vuelve una afirmación sin x, y hay dos posibilidades:
2(x − 1) ≤ 2x + 3 → −2 ≤ 3 verdadero → ℝ
Falsa, no la cumple ningún número; verdadera, la cumple cualquiera. No es «x = 0»: la x desapareció y la respuesta es un conjunto.
Inecuaciones dobles
En −5 ≤ 3x + 4 < 10 todo lo que se hace se hace a los tres miembros: restando 4, −9 ≤ 3x < 6; dividiendo por 3, −3 ≤ x < 2. Si hay que dividir por un negativo, se dan vuelta las dos desigualdades, y el resultado hay que reescribirlo de menor a mayor.
Conjuntos armados con condiciones
Cuando un conjunto se define con dos inecuaciones unidas por ∩, ∪ o −, se resuelve cada una por separado, se escribe cada solución como intervalo y recién después se opera. Y si además se interseca con ℤ, al final se listan los enteros:
{x / −3 < 2x + 3 ≤ 9} = (−3 ; 3]
intersección: ∅ · unión: (−∞ ; 3]
La intersección da vacía por un solo punto: el −3 está en el primero y no en el segundo.
El control que conviene hacer siempre
Elegí un número de adentro de tu intervalo y reemplazalo en la inecuación original: tiene que dar verdadero. Uno de afuera tiene que dar falso. Y el extremo, aparte: con ≤ o ≥ tiene que dar igualdad. Si te olvidaste de dar vuelta la desigualdad, el control te lo muestra en diez segundos, porque te va a quedar exactamente el conjunto contrario.
Resolver (2x + 1)/3 − x ≤ (x − 5)/2 y escribir la solución como intervalo.
Planteo: hay fracciones con denominadores 3 y 2; se multiplica todo por 6, que es positivo y no cambia la desigualdad.
4x + 2 − 6x ≤ 3x − 15
−2x + 2 ≤ 3x − 15
Juntar las x del lado donde quedan positivas (a la derecha):
17 ≤ 5x → x ≥ 17/5
Solución: [17/5 ; +∞). El extremo entra porque la desigualdad es ≤.
Control: con x = 5 (adentro): (11/3) − 5 = −4/3 ≤ 0 = (5 − 5)/2 ✔. Con x = 0 (afuera): 1/3 ≤ −5/2 es falso ✔. En el extremo, x = 17/5: el primer miembro da (39/5)/3 − 17/5 = 13/5 − 17/5 = −4/5 y el segundo (17/5 − 25/5)/2 = −4/5: igualdad ✔
Dónde se pierde el punto: multiplicar por 6 sólo las fracciones y no el −x del medio. Queda 2(2x + 1) − x ≤ 3(x − 5), que es otra inecuación.
Sean A = {x ∈ ℝ / 3 − 2x > 7} y B = {x ∈ ℝ / −5 ≤ 3x + 1 < 10}. Hallar A ∩ B, A ∪ B, B − A y ℤ ∩ B.
A: 3 − 2x > 7 → −2x > 4 → dividiendo por −2 se da vuelta: x < −2. A = (−∞ ; −2).
B: a los tres miembros, restar 1 y dividir por 3 (positivo):
B = [−2 ; 3)
A ∩ B = ∅. A son los menores que −2 y B empieza en −2 incluido: no comparten ningún número. Por un solo punto, pero ninguno.
A ∪ B = (−∞ ; 3). Los dos pedazos se tocan en el −2 (que está en B), así que la unión es un solo intervalo.
B − A = B = [−2 ; 3), porque no comparten nada: no hay qué sacar.
ℤ ∩ B = {−2, −1, 0, 1, 2}: el −2 entra por el corchete y el 3 no.
Control: x = −2 en A: 3 + 4 = 7 > 7 es falso, así que −2 ∉ A ✔; en B: −5 ≤ −5 < 10 ✔.
Dónde se pierde el punto: no dar vuelta al dividir por −2 y escribir A = (−2 ; +∞). Con eso la intersección daría (−2 ; 3), y todo el ejercicio sale al revés.
Dónde se cae la mayoría
- Dividir por un número negativo sin dar vuelta la desigualdad.
- Dar vuelta la desigualdad al sumar o restar un negativo: ahí no se da vuelta nada.
- Contestar «x = 0» cuando la x se cancela: la respuesta es ∅ o ℝ según la afirmación que queda.
- En una doble, operar sólo el miembro del medio.
- Intersecar antes de resolver cada inecuación: primero cada una a intervalo, después la operación.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Inecuaciones lineales y conjuntos por condiciones →Los otros temas de la unidad 1
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