Matemática (61) · Unidad 1 — Números reales
Conjuntos e intervalos: pertenencia y operaciones
Un intervalo es la forma corta de escribir un pedazo de la recta. Casi todas las respuestas de la materia son conjuntos, y para escribirlos hacen falta tres cosas: saber en qué universo se busca, traducir palabras a intervalos y operar con unión, intersección y diferencia.
La explicación
Para qué sirve todo esto
Dominios, conjuntos de positividad, soluciones de inecuaciones: casi ninguna respuesta de la 61 es un número solo. Es un conjunto de números, y se escribe como intervalo, como unión de intervalos o por extensión (listando los elementos). Si esa escritura no te sale automática, perdés puntos en ejercicios que ya sabías resolver.
El universo cambia la respuesta
Un conjunto definido por una ecuación depende de dónde se buscan las soluciones: ℕ = {1, 2, 3, …}, ℤ (los enteros, con los negativos y el 0) o ℝ (todos los reales). Primero se resuelve en ℝ y después se filtra:
en ℝ: {−3, 0, 3} · en ℤ: {−3, 0, 3} · en ℕ: {3}
Un producto es cero cuando alguno de los factores lo es: por eso factorizar resuelve la ecuación. Y si la ecuación no tiene soluciones reales, como x² + 7 = 0, el conjunto es vacío: ∅.
La notación de intervalos
[a ; b) → a ≤ x < b · (a ; b] → a < x ≤ b
Corchete: el extremo pertenece. Paréntesis: no pertenece. El menor siempre a la izquierda. Si no hay tope de un lado, se escribe −∞ o +∞, siempre con paréntesis, porque el infinito no es un número y no puede pertenecer a nada: x ≥ −3 es [−3 ; +∞).
En palabras: «no son menores que 5» quiere decir «mayores o iguales que 5», [5 ; +∞). «Los enteros mayores que −2 y menores o iguales que 3» no es un intervalo: es un conjunto finito, que se escribe por extensión, {−1, 0, 1, 2, 3}.
Pertenencia: se reemplaza y se mira
Para saber si un número está en {x ∈ ℝ / 2x + 7 > 1}, no hace falta resolver nada: se reemplaza. Con x = −4: 2·(−4) + 7 = −1, y −1 > 1 es falso. El −4 no pertenece.
Unión, intersección y diferencia
- A ∪ B: lo que está en A o en B (en alguno). Es lo que dice un «ó» entre dos condiciones.
- A ∩ B: lo que está en A y en B a la vez. Es lo que dice una «y».
- A − B: lo que está en A y no está en B. A A se le saca el pedazo que comparte con B.
2. Marcá todos los extremos en una sola recta: parten la recta en tramos.
3. Para cada tramo (y cada extremo suelto), mirá si está en A, en B o en los dos.
4. Leé el resultado. En la diferencia, ojo con los extremos: si un extremo es de B, en A − B queda con el paréntesis dado vuelta.
A ∪ B = (−3 ; 6) · A ∩ B = [1 ; 4]
A − B = (−3 ; 1) · B − A = (4 ; 6)
El 1 pertenece a B, así que en A − B se va: queda con paréntesis. El 4 pertenece a A, así que en B − A se va.
Los casos extremos, que parecen trampa y son de lo más común: (−∞ ; 1) ∩ [1 ; +∞) = ∅, porque no hay ningún número a la vez menor que 1 y mayor o igual que 1; y (−∞ ; 1] ∪ [1 ; +∞) = ℝ. Y la intersección con ℤ o ℕ convierte un intervalo en un conjunto finito: ℤ ∩ (−3/2 ; 3] = {−1, 0, 1, 2, 3}.
El control que conviene hacer siempre
Probá los extremos uno por uno: ¿el 1 está en A − B? Está en A, pero también en B, así que no. Y probá un número de adentro de cada tramo. Los errores de esta unidad casi nunca son de tramos enteros: son un corchete que debía ser paréntesis.
Sean A = (−4 ; 2] y B = [−1 ; 5). Hallar A ∪ B, A ∩ B, A − B y B − A.
Planteo: los extremos −4, −1, 2 y 5 parten la recta en tramos. Para cada tramo y cada extremo se mira si está en A, en B o en los dos.
[−1 ; 2]: A y B
(2 ; 5): sólo B
Unión: todo lo que está en alguno: A ∪ B = (−4 ; 5). El −4 no está en ninguno y el 5 tampoco, así que los dos van con paréntesis.
Intersección: lo que está en los dos: A ∩ B = [−1 ; 2]. El −1 está en B (corchete) y en A (está entre −4 y 2): entra. El 2 está en A (corchete) y en B: entra.
A − B: lo de A que no es de B: el tramo (−4 ; −1). El −1 es de B, así que no entra: A − B = (−4 ; −1).
B − A: lo de B que no es de A: el tramo (2 ; 5). El 2 es de A, así que no entra, y el 5 no era de B: B − A = (2 ; 5).
Control: A − B, A ∩ B y B − A juntos tienen que dar la unión: (−4 ; −1) ∪ [−1 ; 2] ∪ (2 ; 5) = (−4 ; 5) ✔
Dónde se pierde el punto: escribir A − B = (−4 ; −1], con el corchete de B copiado. El −1 pertenece a B, y la diferencia es justamente sacar lo que pertenece a B.
a) Escribir por extensión los conjuntos {x ∈ ℤ / (x + 2)(x^2 − 4x) = 0} y {x ∈ ℕ / (x + 2)(x^2 − 4x) = 0}. b) Escribir por extensión ℤ ∩ (−5/2 ; 2]. c) Escribir como intervalo o unión el conjunto de los reales x tales que x < −3 ó x ≥ 1, y su intersección con [−5 ; 4).
a) Se resuelve en ℝ y después se filtra. (x + 2)(x² − 4x) = (x + 2)·x·(x − 4), que es cero en x = −2, x = 0 y x = 4.
En ℕ quedan afuera el −2 (negativo) y el 0, que no es natural.
b) Los enteros del intervalo. −5/2 = −2,5 no entra (paréntesis, y además no es entero); el primer entero mayor es −2. El 2 entra por el corchete:
c) La «ó» es una unión: (−∞ ; −3) ∪ [1 ; +∞). Intersecarla con [−5 ; 4) es cortar cada pedazo con ese intervalo:
[1 ; +∞) ∩ [−5 ; 4) = [1 ; 4)
resultado: [−5 ; −3) ∪ [1 ; 4)
Control: el −4 cumple x < −3 y está en [−5 ; 4): entra ✔. El 0 no cumple ninguna de las dos condiciones: no entra ✔. El 4 no está en [−5 ; 4): no entra ✔.
Dónde se pierde el punto: en a), poner el 0 en ℕ; en c), escribir la «ó» como la desigualdad doble 1 ≤ x < −3, que no la cumple ningún número.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir la solución en ℝ cuando el conjunto pedía ℕ o ℤ: los negativos, el 0 o las fracciones pueden quedar afuera.
- Ponerle corchete al infinito: [5 ; +∞] está mal, va [5 ; +∞).
- En A − B, dejar el extremo de B con el mismo corchete: si el extremo pertenece a B, en la diferencia no está.
- Leer una «y» como unión: «x ≥ 1 y x < 4» es la intersección [1 ; 4).
- Escribir un conjunto de enteros como intervalo: {−1, 0, 1, 2} no es [−1 ; 2].
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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