Matemática (61) · Unidad 0 — Preliminares
Del enunciado a la ecuación: porcentajes y problemas
Un problema con texto se resuelve en dos partes: traducirlo a símbolos y resolver la cuenta. La segunda ya la sabés; la primera se entrena con un diccionario de frases, y con los porcentajes pensados como factores que multiplican.
La explicación
El problema no se resuelve, se traduce
En Agronomía y Biología los modelos vienen en palabras: un fertilizante con tantos por ciento de nitrógeno, un campo que se reparte, un valor que baja cada año. Pasar esas palabras a una expresión es la mitad del trabajo, y es la mitad donde se pierden los puntos.
El diccionario
«7 menos el triple de un número» → 7 − 3a
«el cuadrado de la diferencia» → (a − b)²
«la diferencia de los cuadrados» → a² − b²
«la tercera parte de un número, menos otro» → a/3 − b
«la diferencia de dos números, dividida por 3» → (a − b)/3
El orden de las palabras es el orden de las operaciones: en «el cuadrado de la diferencia» primero se resta y después se eleva; en «la diferencia de los cuadrados», al revés. Y «A excede en 2 a B» quiere decir que A es el más grande: A = B + 2.
La cadena «pensá un número»
Una lista de instrucciones («sumale 5, multiplicá por 2, restá 4…») es una expresión que se va armando paso a paso. Llamando x al número pensado y simplificando al final, se ve el truco:
El resultado es siempre «el número pensado más 3»: quien lo escucha resta 3 y adivina. Si en alguna instrucción se resta el número pensado, la x desaparece y el resultado es el mismo para todo el mundo.
Porcentajes: factores que multiplican
El p % de A es (p/100)·A. En una mezcla, cada componente es su porcentaje del total, y los porcentajes suman 100:
Un aumento del p % multiplica por (1 + p/100); una baja del p % multiplica por (1 − p/100). Si la baja se repite cada año, sobre lo que quedó, se multiplica otra vez:
Por eso perder un 20 % dos años seguidos no es perder un 40 %: 0,8·0,8 = 0,64, o sea se pierde un 36 %. El segundo 20 % se calcula sobre un valor que ya era más chico.
Rectángulos y edades
Con base b y altura h: perímetro 2b + 2h, área b·h, diagonal √(b² + h²). Con una sola incógnita, lo demás se escribe en función de ella: si el largo es el triple del ancho más 2, con ancho x el largo es 3x + 2.
En los problemas de edades, lo que no hay que olvidar es que el tiempo pasa para los dos: dentro de t años, quien tiene 41 tendrá 41 + t y quien tiene 11 tendrá 11 + t.
El procedimiento
2. Escribí todo lo demás en función de ella.
3. Traducí el dato que falta: ahí aparece la ecuación.
4. Resolvé y contestá lo que se pregunta, que no siempre es x.
El control que conviene hacer siempre
Leé el enunciado otra vez con tus números puestos. Si el largo tenía que ser el triple del ancho más 2 y te dio ancho 12, largo 38: ¿3·12 + 2 = 38? Sí. ¿El perímetro da lo pedido? Verificar en la ecuación no alcanza, porque si la traducción estaba mal, la ecuación mal escrita también se cumple.
Una madre tiene 41 años y su hija, 11. a) ¿Dentro de cuántos años la madre tendrá el doble de la edad de la hija? b) ¿Hace cuántos años la madre tenía el cuádruple?
a) Incógnita: t = los años que tienen que pasar. Dentro de t años las edades son 41 + t y 11 + t: el tiempo pasa para las dos.
41 + t = 22 + 2t
t = 19
Control con el enunciado: dentro de 19 años tendrán 60 y 30, y 60 es el doble de 30 ✔
b) Ahora hacia atrás. Hace s años tenían 41 − s y 11 − s:
41 − s = 44 − 4s
3s = 3 → s = 1
Control: hace un año tenían 40 y 10, y 40 = 4·10 ✔. La respuesta tiene sentido también en el tiempo: s = 1 es menor que 11, así que la hija ya había nacido.
Dónde se pierde el punto: escribir 41 + t = 2·11, sumándole el tiempo sólo a la madre. Da t = −19, y el signo negativo en un «dentro de cuántos años» es la señal de que la ecuación está mal traducida.
a) Una bolsa de 40 kg de fertilizante tiene 15 % de nitrógeno, 20 % de fósforo y el resto es material inerte. ¿Cuántos kilos hay de cada cosa? b) Un tractor vale hoy 40000 (en miles de pesos) y pierde el 15 % de su valor cada año. ¿Cuánto valdrá dentro de 3 años? ¿Es lo mismo que perder un 45 %?
a) Cada componente es su porcentaje de los 40 kg.
fósforo: 0,20·40 = 8 kg
inerte: 100 % − 35 % = 65 % → 0,65·40 = 26 kg
Control: 6 + 8 + 26 = 40 ✔
b) Cada año queda el 85 % de lo que había. El factor es 1 − 0,15 = 0,85, y se aplica tres veces:
34000·0,85 = 28900
28900·0,85 = 24565
En una sola cuenta: 40000·0,85³ = 40000·0,614125 = 24565 (miles de pesos).
No es lo mismo que perder un 45 %, que dejaría 40000·0,55 = 22000. Con la baja año a año se pierde menos, un 38,6 %, porque cada 15 % se calcula sobre un valor que ya bajó.
Dónde se pierde el punto: restar 3·15 % = 45 %. Esa cuenta supone que todos los años se pierde lo mismo en pesos, y no es así: se pierde lo mismo en porcentaje.
Dónde se cae la mayoría
- Confundir «el cuadrado de la diferencia» (a − b)² con «la diferencia de los cuadrados» a² − b².
- Sumar los porcentajes de dos años: bajar un 20 % dos veces es multiplicar por 0,8², no restar un 40 %.
- En un problema de edades, sumarle los años a una sola de las personas.
- Escribir «A excede en 2 a B» como A = B − 2.
- Dar el valor de x cuando la pregunta era el área, el largo o los kilos de un componente.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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