Matemática (61) · Unidad 0 — Preliminares
Cuentas con fracciones, potencias y raíces
Una cuenta combinada se desarma en términos, cada término se resuelve por separado y recién al final se suma. Casi todos los errores vienen de hacer una operación antes de tiempo: sumar lo que había que multiplicar, o repartir una potencia sobre una suma.
La explicación
Para qué te sirve esto en la 61
En esta materia vas a trabajar con modelos de verdad: una población que crece un 2 % por año, un fármaco que se elimina, un lote que se reparte entre cultivos. Todos terminan en una cuenta con fracciones, decimales y potencias, y si esa cuenta no sale sola, el problema se pierde en el último renglón. Esta práctica es la que hace que después no tengas que pensar en ella.
El orden: primero se separa en términos
Los signos + y − que no están adentro de un paréntesis cortan la cuenta en términos. Cada término se resuelve entero —potencias y raíces primero, después productos y divisiones— y sólo al final se suman los resultados.
2. En cada término, resolvé primero los paréntesis de adentro hacia afuera.
3. Después potencias y raíces; después productos y divisiones, de izquierda a derecha.
4. Recién ahora sumá y restá los términos.
Fracciones: las cuatro operaciones
(a/b)·(c/d) = (a·c)/(b·d)
(a/b) : (c/d) = (a/b)·(d/c)
Para sumar hace falta el mismo denominador: conviene usar el mínimo común múltiplo, porque los números quedan chicos. Para dividir se multiplica por la recíproca del divisor (la segunda fracción dada vuelta). Y una raya de fracción larga es una división: se resuelve el piso de arriba, el de abajo, y recién ahí se divide.
Los decimales se pasan a fracción antes de operar, que casi siempre simplifica: 0,75 = 3/4; 1,2 = 12/10 = 6/5; 0,05 = 1/20.
Potencias de exponente negativo, también de una fracción
El exponente negativo da vuelta la base; no le cambia el signo. Con una fracción, lo más rápido es invertirla y elevar al exponente positivo: (2/5)⁻² = (5/2)² = 25/4. El signo del resultado lo decide la base: (−1/2)⁻³ = (−2)³ = −8, porque el exponente 3 es impar y la base es negativa.
Raíces cuadradas y cúbicas
La raíz cuadrada de un número negativo no existe en los reales; la cúbica sí: ∛(−64) = −4, porque (−4)³ = −64. Las dos se reparten sobre productos y cocientes, así que la raíz de una fracción es la raíz de arriba sobre la de abajo:
√(a + b) ≠ √a + √b
Y sobre una suma no se reparten nunca: √(16 + 9) es √25 = 5, no 4 + 3. Un decimal adentro de una raíz conviene pasarlo a fracción: √0,49 = √(49/100) = 7/10.
La fracción de una fracción, dicha en palabras
«Las dos terceras partes de la mitad» es un producto: (2/3)·(1/2) = 1/3 del total. El problema viene cuando se habla de lo que queda: si alguien se lleva 1/4 de un campo y otro «las 2/3 de lo que quedó», el segundo no se lleva 2/3 del campo, sino 2/3 de los 3/4 restantes:
2. El segundo se lleva (2/3)·(3/4) = 1/2 del campo.
3. Lo que queda al final: 1 − 1/4 − 1/2 = 1/4.
La pregunta que te salva siempre es «¿fracción de qué?». Cuando la respuesta es «de lo que quedó», primero hay que calcular eso.
Cambiar de unidad es multiplicar por una fracción
Un día tiene 24·60 = 1440 minutos, así que 3/16 de día son (3/16)·1440 = 270 minutos. Y al revés: 36 minutos son 36/1440 = 1/40 de día. Siempre es lo mismo: el total en la unidad chica, multiplicado por la fracción.
El control que conviene hacer siempre
Estimá antes de dar el resultado. Si sumaste dos fracciones menores que 1 y te dio más de 2, algo está mal. Si una fracción «de lo que queda» te dio más grande que lo que quedaba, también. Y cuando hay decimales, repetí la cuenta con la calculadora del celular en decimales: si los dos caminos no dan el mismo número, el error está en el de las fracciones.
Calcular (1 − 2/5) : (3/10) + (2/3)^(−2) − √(49/4).
Planteo: hay tres términos, separados por el + y el − que están afuera de los paréntesis. Se resuelve cada uno y se suman al final.
Primer término. Adentro del paréntesis: 1 − 2/5 = 5/5 − 2/5 = 3/5. Dividir por 3/10 es multiplicar por su recíproca:
Segundo término. Exponente negativo sobre una fracción: se da vuelta y se eleva al cuadrado.
Tercer término. La raíz de un cociente es el cociente de las raíces:
Se juntan, con denominador común 4:
Control en decimales: 0,6 : 0,3 = 2; (0,666…)⁻² = 2,25; √12,25 = 3,5. Y 2 + 2,25 − 3,5 = 0,75, que es 3/4 ✔
Dónde se pierde el punto: multiplicar 3/5 por 3/10 en vez de dividir da 9/50 en vez de 2; y tomar (2/3)⁻² como −4/9 le cambia el signo a un término que es positivo.
En un campo se siembran con soja las 2/5 partes. De lo que queda, las 2/3 se siembran con maíz, y el resto, que son 30 hectáreas, queda como pastura. a) ¿Qué fracción del campo es maíz? b) ¿Qué fracción es pastura? c) ¿Cuántas hectáreas tiene el campo? d) Si la sembradora tarda 3/4 de hora por hectárea, ¿cuántas horas lleva sembrar el maíz?
a) «De lo que queda» obliga a calcular primero lo que queda. Después de la soja queda 1 − 2/5 = 3/5 del campo. El maíz es 2/3 de eso:
b) La pastura es lo que sobra:
c) Del dato a la parte entera. Si 1/5 del campo son 30 ha, el campo entero es cinco veces eso: 150 ha. Control: soja 60 ha, maíz 60 ha, pastura 30 ha; 60 + 60 + 30 = 150 ✔, y el maíz, 60, es 2/3 de las 90 que quedaban después de la soja ✔
d) El maíz son 60 ha (2/5 de 150), y cada hectárea lleva 3/4 de hora:
Dónde se pierde el punto: tomar el maíz como 2/3 del campo entero. Con eso la soja y el maíz ya suman 2/5 + 2/3 = 16/15, más que el campo, y la pastura daría negativa: una señal de que la fracción era de otra cosa.
Dónde se cae la mayoría
- Sumar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores: 1/4 + 1/2 no es 2/6, porque los pedazos son de distinto tamaño.
- Usar el exponente negativo para cambiarle el signo al resultado: (2/5)⁻² es 25/4, positivo, y no −4/25.
- Repartir una raíz sobre una suma: √(16 + 9) no es 4 + 3.
- Calcular «las 2/3 de lo que quedó» como 2/3 del total, sin descontar primero lo que ya se habían llevado.
- Resolver de izquierda a derecha sin mirar los términos: en 2 + 3·4 se multiplica primero.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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