Matemática (61) · Unidad 0 — Preliminares
Ecuaciones, y qué se deduce de qué
Resolver una ecuación es buscar todos los valores que la cumplen, y a veces son ninguno o todos. Con x en un denominador, el candidato que sale de la cuenta hay que revisarlo, porque multiplicar por algo que puede ser cero fabrica soluciones falsas.
La explicación
Qué es resolver una ecuación
Una ecuación es una pregunta: ¿para qué valores de x los dos miembros valen lo mismo? Resolverla es encontrar todos esos valores. La respuesta puede ser un número, varios, ninguno o todos los reales, y las cuatro son respuestas completas.
Ecuaciones lineales: la misma operación a los dos lados
«Pasar restando» es un atajo de algo más honesto: hacer la misma operación a los dos miembros, que mantiene la igualdad. Con eso se despeja:
5x − 2x = −9 − 3
3x = −12 → x = −4
Dos casos que parecen raros y no lo son:
- La x desaparece y queda algo falso, como 6 = 4: ningún número cumple la ecuación. No tiene solución.
- La x desaparece y queda algo verdadero, como 2 = 2: cualquier número la cumple. La solución es ℝ.
Si aparece x² en los dos miembros con el mismo coeficiente, se cancela y la ecuación vuelve a ser lineal: x² + 4x = x² − 2x + 9 da 6x = 9, x = 3/2.
Con x en un denominador: primero lo prohibido
2. Multiplicá los dos miembros por el denominador común. La ecuación que queda ya no tiene fracciones.
3. Resolvela.
4. Revisá cada candidato contra la lista del paso 1 y reemplazalo en la ecuación original.
¿Por qué hace falta el paso 4? Porque al multiplicar por (x − 2) estás multiplicando por algo que vale 0 cuando x = 2, y multiplicar por 0 hace verdadera cualquier igualdad. La ecuación nueva puede tener una solución que la original no tiene. Ejemplo: (x + 1)/(x − 4) = 5/(x − 4) lleva a x + 1 = 5, o sea x = 4, que está prohibido: no hay solución.
Una fracción igualada a cero es más simple: A/B = 0 exactamente cuando A = 0 y B ≠ 0. No hace falta multiplicar nada.
Qué se deduce de qué: el «si… entonces»
Una afirmación «si P entonces Q» es verdadera cuando todos los valores que cumplen P también cumplen Q. Es falsa si hay aunque sea uno que cumple P y no cumple Q: ése es el contraejemplo.
- «Si a = 5 entonces a² = 25» es verdadera. Pero la recíproca, «si a² = 25 entonces a = 5», es falsa: a = −5 cumple a² = 25 y no es 5. Que una valga no dice nada de la otra.
- «Si a·b = 0 entonces a = 0 o b = 0» es verdadera; con y sería falsa (a = 0, b = 3). En matemática, «o» significa «al menos uno de los dos».
- Para dividir por una expresión hay que saber que no es cero. De a⁴ = 5a² se deduce a² = 5 sólo si a ≠ 0: con a = 0 la primera se cumple y la segunda no.
- «Si a > 2 entonces a > 0» es verdadera (lo que es mayor que 2 es mayor que 0). La recíproca es falsa: a = 1.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá la solución en la ecuación original —no en la que te quedó después de multiplicar— y calculá los dos miembros por separado. Si dan lo mismo y ningún denominador se anula, está bien. Y en un «si… entonces», antes de decir «verdadero», buscá un contraejemplo entre los sospechosos de siempre: el 0, los negativos y los números entre 0 y 1.
Resolver (4x − 2)/(x + 3) = 2 y verificar la solución.
Primero lo prohibido: el denominador x + 3 se anula en x = −3. Ese valor no puede ser solución.
Se multiplica por (x + 3) a los dos lados, sabiendo que x ≠ −3:
4x − 2 = 2x + 6
2x = 8 → x = 4
Se revisa el candidato. 4 no es −3, así que no está prohibido. Y en la ecuación original:
La solución es x = 4. Es la única, porque la ecuación lineal que quedó tenía una sola.
Dónde se pierde el punto: multiplicar sólo el 2 por x o sólo el x por 2 (escribir 4x − 2 = 2x + 3) y llegar a x = 5/2. El paréntesis en 2(x + 3) es el que obliga a multiplicar los dos términos.
a) Resolver (x + 5)/(x − 2) − 3 = 7/(x − 2). b) Decidir si son verdaderas o falsas: i) Si x^2 = 9 entonces x = 3. ii) Si (x − 1)(x + 4) = 0 entonces x = 1 o x = −4. iii) Si x^3 = 2x y x ≠ 0 entonces x^2 = 2.
a) Prohibido: x = 2. Se multiplica todo por (x − 2):
x + 5 − 3x + 6 = 7
−2x = −4 → x = 2
El único candidato es justo el valor prohibido: en la ecuación original, x = 2 anula los denominadores. La ecuación no tiene solución. Se puede ver de otra forma: si x ≠ 2, (x + 5)/(x − 2) − 3 = (x + 5 − 3x + 6)/(x − 2) = (11 − 2x)/(x − 2), y eso es igual a 7/(x − 2) sólo si 11 − 2x = 7, o sea x = 2, que no está permitido.
b) i) Falsa. Contraejemplo: x = −3 cumple x² = 9 y no es 3.
ii) Verdadera. Un producto es cero exactamente cuando alguno de los factores lo es: x − 1 = 0 o x + 4 = 0.
iii) Verdadera. Como x ≠ 0, se puede dividir por x: x³ = 2x da x² = 2. Sin la condición x ≠ 0 sería falsa, porque x = 0 cumple x³ = 2x y no x² = 2.
Dónde se pierde el punto: en a), contestar «x = 2» sin revisar; en b) iii), decir «falsa porque x puede ser 0» cuando el enunciado ya lo excluye: hay que leer las condiciones completas.
Dónde se cae la mayoría
- Dar por buena una solución que anula un denominador: al multiplicar por él la ecuación ganó una solución que la original no tiene.
- Contestar «x = 0» cuando la x se cancela y queda algo falso: la respuesta es que no hay solución.
- Deducir a = 5 de a² = 25: también está a = −5.
- Dividir los dos miembros por a sin pedir a ≠ 0, y perder la solución a = 0.
- Leer «a = 0 o b = 0» como si fuera «y»: basta con que uno de los dos sea cero.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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