Matemática (61) · Unidad 0 — Preliminares
Expresiones con letras: reducir, factorizar y qué propiedades valen
Con letras se opera igual que con números, con una sola novedad: hay valores prohibidos. Y para saber si una «propiedad» vale, alcanza con un solo par de números donde falle; para saber que vale siempre, hace falta una razón.
La explicación
Por qué esto decide media materia
Dominio, límites, derivadas de cocientes, integrales por fracciones simples: todo termina en una expresión con x que hay que llevar a una sola fracción y simplificar. Y la mitad de los errores de esas cuentas son «propiedades» que no existen, como repartir un cuadrado sobre una suma. Esta práctica entrena las dos cosas: operar bien y desconfiar de lo que parece obvio.
Llevar a una sola fracción
2. El denominador común es el producto de los factores distintos, cada uno con su mayor exponente.
3. Cada numerador se multiplica por lo que le faltó a su denominador.
4. Se suman los numeradores, con cuidado del menos que está adelante de un paréntesis.
5. Recién al final se simplifica, tachando factores.
El truco del signo. x − 3 y 3 − x no son iguales, son opuestos: 3 − x = −(x − 3). Entonces 2x/(3 − x) = −2x/(x − 3), y las dos fracciones ya tienen el mismo denominador sin multiplicar nada.
Un número sumado a una fracción es una fracción de denominador 1: 4 − 5/x = (4x − 5)/x. Y cuando hay que dividir por una expresión como 1 + 3/(2x), primero se la escribe como una sola fracción, (2x + 3)/(2x), y después se multiplica por su recíproca.
Una raíz arriba y x abajo se simplifica con potencias: √x/x = x1/2/x = x−1/2 = 1/√x (con x > 0).
Los productos notables, en los dos sentidos
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
El doble producto 2ab es el que se olvida. Desarrollar es leerlas de izquierda a derecha; factorizar, de derecha a izquierda, que es lo que más se usa.
Factorizar como producto
2. Dos términos con un menos en el medio: diferencia de cuadrados. 25x² − 16 = (5x − 4)(5x + 4), y también en grado 4: x⁴ − 81 = (x² − 9)(x² + 9).
3. Tres términos: probá trinomio cuadrado perfecto. x² − 14x + 49 = (x − 7)², porque 2·x·7 = 14x.
4. Mirá cada factor nuevo: si se puede seguir, seguí. Una suma de cuadrados como x² + 25 no se factoriza en los reales.
¿Son iguales para todo valor? El contraejemplo
Dos expresiones son iguales «para todos los valores» cuando dan lo mismo cualquiera sea el valor de las letras (dentro de lo permitido). Hay dos maneras de contestar:
- Si son iguales, hay que dar una razón: una propiedad que valga siempre. Por ejemplo (a/b)⁻¹ = b/a, porque el exponente −1 da vuelta la fracción; o a3/4 = ⁴√(a³) (a ≥ 0), porque así se define la potencia fraccionaria.
- Si no lo son, alcanza con un contraejemplo: valores concretos de las letras con los que den distinto. Uno solo alcanza para tirar abajo la igualdad.
√169 = 13 contra 5 + 12 = 17
Las que no valen, y conviene tener identificadas: √(a + b) ≠ √a + √b; (a + b)² ≠ a² + b²; 1/(a + b) ≠ 1/a + 1/b; a⁻¹ ≠ −a. Las que sí valen: √(a·b) = √a·√b (a, b ≥ 0), (a + b)/c = a/c + b/c, a⁻¹ = 1/a, (a/b):(c/d) = (a·d)/(b·c).
Ojo al elegir el contraejemplo. Con a = 0 o b = 0 muchas de las falsas coinciden de casualidad: √(0 + 9) = √0 + √9. Ese par no prueba nada. Elegí números sin ceros y, si podés, que las raíces salgan exactas para que la diferencia se vea sin calculadora.
El control que conviene hacer siempre
Después de reducir o factorizar, reemplazá un número permitido (x = 1 o x = 2) en la expresión original y en tu resultado. Si dan distinto, hay un error. Es exactamente la misma idea que el contraejemplo: si con un número no coinciden, no son iguales.
Reducir a una sola fracción 5/(x − 3) + 2x/(3 − x) e indicar para qué valores de x está definida.
Planteo: los dos denominadores parecen distintos, pero son opuestos: 3 − x = −(x − 3). Aprovecharlo evita multiplicar.
El segundo término, con el signo afuera.
Ahora sí, mismo denominador: se suman los numeradores.
Dónde está definida: el único denominador que aparece (en sus dos versiones) se anula en x = 3. Está definida para todo x ≠ 3.
¿Se puede simplificar? Sólo si 5 − 2x y x − 3 tuvieran un factor común, y no lo tienen: el numerador se anula en 5/2 y el denominador en 3. Queda así.
Control con un número: en x = 1 la original da 5/(−2) + 2/2 = −5/2 + 1 = −3/2, y el resultado da (5 − 2)/(1 − 3) = 3/(−2) = −3/2 ✔
Dónde se pierde el punto: tomar como denominador común el producto (x − 3)(3 − x). No es un error, pero lleva a un numerador de segundo grado que después hay que volver a simplificar, y en esa cuenta larga se escapa un signo.
a) Escribir (x^2 − 9)/(x^2 + 3x) − 2/x como una sola fracción simplificada, e indicar los valores de x para los que la expresión original no está definida. b) Decidir si (a − b)^2 y a^2 − b^2 son iguales para todos los valores de a y b; si no lo son, dar un contraejemplo.
a) Factorizar primero. Arriba hay una diferencia de cuadrados y abajo un factor común:
Ahora sí, el (x + 3) es un factor arriba y abajo y se tacha: queda (x − 3)/x. Pero el −3 no pasa a estar permitido por haberse tachado.
Los valores prohibidos salen de la expresión original: x² + 3x = x(x + 3) se anula en x = 0 y x = −3, y el 2/x vuelve a prohibir el 0.
Control: en x = 1 la original da (1 − 9)/(1 + 3) − 2 = −2 − 2 = −4, y el resultado da (1 − 5)/1 = −4 ✔
b) Probar con números sin ceros. Con a = 5 y b = 2:
Dan distinto, así que no son iguales para todo valor, y a = 5, b = 2 es un contraejemplo. De hecho (a − b)² = a² − 2ab + b², y la diferencia con a² − b² es 2b² − 2ab = 2b(b − a): coinciden sólo cuando b = 0 o a = b. Por eso un contraejemplo con b = 0 no habría servido.
Dónde se pierde el punto: en a), olvidarse del −3 porque «se fue»; en b), contestar «no» sin dar valores concretos, que es lo que la consigna pide.
Dónde se cae la mayoría
- Tratar x − 3 y 3 − x como iguales: son opuestos, y el signo que se pierde cambia el resultado.
- Olvidar el doble producto: (x − 7)² no es x² + 49 ni x² − 49.
- Elegir un contraejemplo con un cero: con a = 0 casi todas las igualdades falsas coinciden de casualidad.
- Creer que una igualdad es cierta porque se cumplió con un par de números: para que valga siempre hace falta una razón.
- Tachar términos que están sumando: en (x² − 6x + 9)/(x² − 9) no se tacha el x².
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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