Matemática (61) · Unidad 2 — Funciones: generalidades, lineales, cuadráticas y polinómicas
Función lineal: pendiente, ordenada y la recta por datos
f(x) = mx + b: la pendiente m es cuánto sube por cada paso a la derecha, y b es dónde corta al eje y. Con dos datos cualesquiera se encuentran las dos, y el signo de m ya dice dónde es positiva y dónde negativa.
La explicación
Qué dicen m y b
Una función lineal es f(x) = mx + b, y su gráfico es una recta.
- b, la ordenada al origen, es f(0): la altura donde la recta corta al eje y.
- m, la pendiente, es cuánto cambia f cuando x aumenta 1. Si m > 0 la recta sube (f es creciente), si m < 0 baja (decreciente), y si m = 0 es horizontal: f es constante.
Un punto (p, q) está en el gráfico si f(p) = q: se reemplaza y se compara. Con f(x) = 4x − 3, el (−1, −7) está, porque f(−1) = −4 − 3 = −7.
La recta por datos
Por dos valores f(x₁) = y₁ y f(x₂) = y₂: es lo mismo, son los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂).
Por un punto y la pendiente: y − y₁ = m(x − x₁), y se despeja.
Leída de un gráfico: b es el corte con el eje y; m, lo que sube (o baja) entre dos puntos de coordenadas enteras dividido lo que avanza.
m = (7 − (−2))/(4 − 1) = 9/3 = 3
−2 = 3·1 + b → b = −5
f(x) = 3x − 5
La resta de las y y la de las x van en el mismo orden: si arriba ponés y₂ − y₁, abajo va x₂ − x₁.
¿Tres puntos alineados?
Tres puntos están sobre una misma recta si la pendiente entre el primero y el segundo es igual a la pendiente entre el segundo y el tercero. Si difieren, no hay ninguna función lineal que pase por los tres.
Ceros, positividad y crecimiento
El cero de f(x) = mx + b (con m ≠ 0) es x = −b/m. Y como una recta no vuelve, el cero parte la recta en dos: de un lado f es positiva y del otro negativa, y cuál es cuál lo decide el signo de m.
m < 0: positiva antes del cero, negativa después
Al revés: la lineal desde su conjunto de negatividad
Si te dicen que el conjunto de negatividad de una lineal es (−1 ; +∞), te están dando dos datos:
2. La negatividad está a la derecha, así que f decrece: m < 0.
3. Con el cero y otro valor dado, se arma la recta por dos puntos.
4. Se controla que la pendiente haya dado con el signo que exige el conjunto.
Parámetros
Si la recta pasa por (1, 4) y (3, a), la pendiente es (a − 4)/2 y depende de a. Cada condición extra (una pendiente, una ordenada, un tercer punto) da una ecuación en a.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá los dos datos en la recta que encontraste: los dos tienen que cumplirse. Si encontraste m y b con un punto, verificá con el otro. Un error de signo en la pendiente pasa el control del primer punto (lo usaste para calcular b) y falla con el segundo.
Hallar la función lineal cuyo gráfico pasa por (−1, 4) y (3, −4). Dar su cero y sus conjuntos de positividad y de negatividad.
La pendiente, con las restas en el mismo orden:
La ordenada: reemplazando (−1, 4) en y = −2x + b, queda 4 = 2 + b, o sea b = 2.
Control con el otro punto: f(3) = −6 + 2 = −4 ✔
Cero: −2x + 2 = 0 → x = 1.
Signo: como m < 0, la recta baja: es positiva antes del cero y negativa después.
Control: f(0) = 2 > 0 y el 0 está en (−∞ ; 1) ✔.
Dónde se pierde el punto: restar 3 − 1 en vez de 3 − (−1) en el denominador: da m = −4 y la recta ya no pasa por el segundo punto.
a) Decidir si A = (−3, 10), B = (1, 2) y C = (4, −4) están alineados. b) La recta L pasa por (2, −1) y (5, a). Hallar a para que: i) la pendiente de L sea 3; ii) L corte al eje y en (0, 4); iii) L pase por (−1, 5).
a) Pendiente de A a B y de B a C:
m_BC = (−4 − 2)/(4 − 1) = −6/3 = −2
Iguales: están alineados, sobre la recta y = −2x + 4.
b) La pendiente depende de a: m = (a − (−1))/(5 − 2) = (a + 1)/3.
i) (a + 1)/3 = 3 → a = 8.
ii) Si corta al eje y en (0, 4), la recta pasa por (0, 4) y (2, −1): m = (−1 − 4)/2 = −5/2. Igualando: (a + 1)/3 = −5/2 → a + 1 = −15/2 → a = −17/2.
iii) Pasa por (−1, 5) y (2, −1): m = (−1 − 5)/(2 − (−1)) = −2. Entonces (a + 1)/3 = −2 → a = −7.
Control de iii): la recta es y = −2x + 3; en x = 5 da −7 ✔, y en x = −1 da 5 ✔.
Dónde se pierde el punto: en ii), igualar b = 4 directamente a la a. La a es la ordenada de otro punto, no la ordenada al origen: hay que pasar por la pendiente.
Dónde se cae la mayoría
- Calcular la pendiente con las restas en distinto orden: (y₂ − y₁)/(x₁ − x₂) da el signo cambiado.
- Confundir la ordenada al origen con el cero: b es donde corta al eje y, −b/m donde corta al eje x.
- Hallar la lineal desde su negatividad sin usar que el borde del conjunto es un cero.
- Decidir que tres puntos están alineados mirando sólo dos de ellos.
- Escribir la recta de pendiente 0 como x = c: es horizontal, y = c.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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Funciones: generalidades, lineales, cuadráticas y polinómicas