Matemática (61) · Unidad 2 — Funciones: generalidades, lineales, cuadráticas y polinómicas

Función cuadrática: vértice, imagen, ceros y signo

Todo lo de una parábola sale de dos datos: el signo de a (si abre para arriba o para abajo) y el vértice. Con eso se leen la imagen y el crecimiento; con los ceros, el signo. Y si no tiene ceros, tiene un solo signo en toda la recta.

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La explicación

Las tres formas de una cuadrática

polinómica: f(x) = ax² + bx + c
canónica: f(x) = a(x − x_v)² + y_v
factorizada: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

Es la misma función escrita de tres maneras, y cada una muestra algo a simple vista: la canónica, el vértice V = (x_v, y_v); la factorizada, los ceros x₁ y x₂; la polinómica, el corte con el eje y, que es c. El número a es el mismo en las tres: si a > 0 la parábola abre hacia arriba, si a < 0 hacia abajo.

El vértice, la imagen y el crecimiento

1. Abscisa del vértice: x_v = −b/(2a).
2. Ordenada: y_v = f(x_v), reemplazando.
3. Imagen: si a > 0, [y_v ; +∞); si a < 0, (−∞ ; y_v].
4. Crecimiento: si a > 0 decrece en (−∞ ; x_v) y crece en (x_v ; +∞); si a < 0, al revés.

f(x) = x² − 8x + 10
x_v = 8/2 = 4, y_v = 16 − 32 + 10 = −6
Im(f) = [−6 ; +∞)

El vértice está en el eje de simetría: la parábola es igual a los dos lados de la recta x = x_v. Por eso, si tiene dos ceros, x_v es su promedio.

Los ceros: la fórmula resolvente

x = (−b ± √Δ)/(2a), Δ = b² − 4ac

El discriminante Δ dice cuántos ceros hay antes de hacer la cuenta:

Δ > 0: dos ceros distintos; la parábola cruza el eje.
Δ = 0: un solo cero, que es el vértice; la parábola apoya en el eje. Es un cuadrado perfecto: 4x² − 20x + 25 = (2x − 5)².
Δ < 0: ningún cero; la parábola no toca el eje.

Si no hay término independiente o no hay término lineal, no hace falta la fórmula: 3x² − 12x = 3x(x − 4) y x² − 25 = (x − 5)(x + 5).

El signo: positividad y negatividad

Entre ceros consecutivos la parábola no cambia de signo. Así que alcanza con saber hacia dónde abre:

Dos ceros x₁ < x₂, a > 0: negativa entre los ceros, positiva afuera: C⁻ = (x₁ ; x₂), C⁺ = (−∞ ; x₁) ∪ (x₂ ; +∞).
Dos ceros, a < 0: al revés: positiva entre los ceros.
Un cero (Δ = 0): tiene el signo de a en todos lados menos en el cero.
Sin ceros (Δ < 0): tiene el signo de a en toda la recta; el otro conjunto es ∅.

El control que conviene hacer siempre

El vértice tiene que quedar en el medio de los ceros, y su altura tiene que tener el signo contrario al de a cuando hay dos ceros (si abre para arriba y cruza el eje, el vértice está abajo). Y probá un punto: f(0) = c tiene que tener el signo que tu conjunto dice que tiene el 0.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = 2x^2 + 4x − 16. Hallar el vértice, la imagen, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad.

Vértice: a = 2, b = 4.

x_v = −4/(2·2) = −1
y_v = 2 − 4 − 16 = −18
V = (−1, −18)

Imagen y crecimiento: a > 0, abre para arriba. Im(f) = [−18 ; +∞); decrece en (−∞ ; −1) y crece en (−1 ; +∞).

Ceros: conviene sacar el 2 de factor común: f(x) = 2(x² + 2x − 8) = 2(x + 4)(x − 2). Ceros: x = −4 y x = 2. Con la resolvente: Δ = 16 + 128 = 144, x = (−4 ± 12)/4, que da 2 y −4 ✔.

Signo: abre para arriba, así que es negativa entre los ceros:

C⁻ = (−4 ; 2)
C⁺ = (−∞ ; −4) ∪ (2 ; +∞)

Control: el vértice, −1, es el promedio de −4 y 2 ✔; f(0) = −16 < 0 y el 0 está en (−4 ; 2) ✔.

Dónde se pierde el punto: escribir x_v = 4/4 = 1, sin el menos. Con eso el «vértice» queda fuera del medio de los ceros, que es la señal de alarma.

Y uno del nivel del parcial

a) Sea g(x) = −x^2 + 4x − 7. Hallar su vértice, su imagen, sus ceros y sus conjuntos de positividad y negatividad. b) Lo mismo para h(x) = 9x^2 − 6x + 1.

a) g abre hacia abajo (a = −1). x_v = −4/(−2) = 2 y g(2) = −4 + 8 − 7 = −3: V = (2, −3), Im(g) = (−∞ ; −3].

Ceros: Δ = 16 − 4·(−1)·(−7) = 16 − 28 = −12 < 0. No tiene ceros.

Signo: abre hacia abajo y su punto más alto ya está en −3, bajo el eje: es negativa siempre.

C⁻ = ℝ · C⁺ = ∅

b) h es un cuadrado perfecto: 9x² − 6x + 1 = (3x − 1)², porque 2·3x·1 = 6x. Δ = 36 − 36 = 0.

Vértice: x_v = 6/18 = 1/3 y h(1/3) = 0. V = (1/3, 0), Im(h) = [0 ; +∞). Un solo cero, x = 1/3.

C⁺ = ℝ − {1/3} = (−∞ ; 1/3) ∪ (1/3 ; +∞)
C⁻ = ∅

Dónde se pierde el punto: en a), decir «no tiene conjunto de negatividad porque no tiene ceros», cuando es exactamente al revés; en b), meter el 1/3 en la positividad, cuando ahí h vale 0.

Dónde se cae la mayoría

Calcular x_v = b/(2a), sin el menos.
Dar la imagen al revés: con a > 0 la parábola abre para arriba y la imagen empieza en y_v hacia arriba.
Dar la negatividad afuera de los ceros cuando a > 0: una parábola que abre para arriba es negativa entre sus ceros.
Con Δ < 0, contestar «no tiene positividad»: no tiene ceros, pero es positiva o negativa en toda la recta.
Con Δ = 0, poner el cero adentro del conjunto de positividad: ahí f vale 0.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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