Matemática (61) · Unidad 3 — Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría
Seno, coseno y tangente: radianes, valores, imagen y extremos
Todo sale de la circunferencia de radio 1: el coseno es la sombra sobre el eje x, el seno la altura y la tangente su cociente. Con los ángulos del primer cuadrante y el signo de cada cuadrante se saca cualquier valor, y en A·sen(Bx + C) + D cada letra hace una sola cosa.
La explicación
Radianes: medir el ángulo con el arco
En la circunferencia de radio 1, un ángulo mide en radianes lo mismo que el arco que abarca. La vuelta entera es un arco de 2π, así que:
grados → radianes: multiplicar por π/180
radianes → grados: multiplicar por 180/π
135° = 135·π/180 = 3π/4, y 5π/9 = 5·180°/9 = 100°. Las funciones de la materia se evalúan en radianes: sen(2) es el seno de 2 radianes, unos 115°.
La circunferencia trigonométrica
El ángulo θ se mide desde el semieje x positivo, en sentido contrario a las agujas del reloj (negativo, a favor). El punto donde termina es
De ahí sale que −1 ≤ sen θ ≤ 1 y −1 ≤ cos θ ≤ 1, y que sen²θ + cos²θ = 1 (Pitágoras en el triángulo de hipotenusa 1).
Los valores notables
π/6 → sen 1/2 · cos √3/2 · tg √3/3
π/4 → sen √2/2 · cos √2/2 · tg 1
π/3 → sen √3/2 · cos 1/2 · tg √3
π/2 → sen 1 · cos 0 · tg no existe
Truco: los senos son √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, y los cosenos son los mismos al revés.
Los otros cuadrantes: ángulo de referencia y signo
2. Ubicá el cuadrante y buscá el ángulo de referencia, el que forma con el eje x: en el II es π − θ, en el III es θ − π, en el IV es 2π − θ.
3. El valor es el del ángulo de referencia, con el signo del cuadrante: I todo positivo; II sólo el seno; III sólo la tangente; IV sólo el coseno.
Ejemplo: 7π/4 está en el IV, con referencia 2π − 7π/4 = π/4: sen(7π/4) = −√2/2, cos(7π/4) = √2/2, tg(7π/4) = −1. Y para negativos: sen(−θ) = −sen θ, cos(−θ) = cos θ.
La tangente
tg x = sen x / cos x no existe donde cos x = 0: en x = π/2 + kπ (k entero). Ahí su gráfico tiene asíntotas verticales. Su imagen es todo ℝ y su período es π, no 2π: en ángulos opuestos por el centro, seno y coseno cambian los dos de signo y el cociente queda igual.
A·sen(Bx + C) + D: cada letra hace una cosa
- A, amplitud: estira; si es negativa, da vuelta (donde había máximo queda mínimo).
- B: el período pasa a ser 2π/|B|.
- C: corre de costado. No cambia la imagen: sólo dónde están los extremos.
- D: sube o baja el centro de la oscilación.
2. Multiplicá por A (si es negativa, la desigualdad se da vuelta) y sumá D.
3. Im = [D − |A| ; D + |A|], con corchetes: los extremos se alcanzan.
4. ¿Dónde? Si A > 0, el máximo está donde sen(Bx + C) = 1, o sea Bx + C = π/2 + 2kπ; el mínimo, donde vale −1. Si A < 0, al revés. Con coseno: cos = 1 en 0 + 2kπ y cos = −1 en π + 2kπ.
Un parámetro desde la imagen: si piden k para que Im(f) = [−2 ; 8] en f(x) = 5 cos x + k, se igualan los extremos: k − 5 = −2 y k + 5 = 8. Las dos dan k = 3, y que coincidan es el control: el intervalo mide 10 = 2|A|.
El control que conviene hacer siempre
El intervalo imagen mide 2|A| y su centro es D. Y cada valor de un ángulo raro se controla con la calculadora en radianes: sen(7π/4) ≈ −0,7071 = −√2/2 ✔
a) Pasar 135° a radianes y 5π/9 a grados. b) Calcular el seno, el coseno y la tangente de 11π/6 y de −2π/3.
a) Las conversiones.
5π/9 · 180/π = 900°/9 = 100°
b) 11π/6. Está entre 3π/2 y 2π: cuarto cuadrante. El ángulo de referencia es 2π − 11π/6 = π/6. En el IV sólo el coseno es positivo:
tg(11π/6) = (−1/2)/(√3/2) = −√3/3
−2π/3. Primero lo llevo a [0 ; 2π): −2π/3 + 2π = 4π/3. Está entre π y 3π/2: tercer cuadrante, con referencia 4π/3 − π = π/3. En el III sólo la tangente es positiva:
tg(−2π/3) = √3
Control con la calculadora en radianes: sen(11π/6) ≈ sen(5,7596) = −0,5 ✔ y cos(−2π/3) ≈ cos(−2,0944) = −0,5 ✔. Y otro gratis: sen² + cos² = 1/4 + 3/4 = 1 en los dos ✔
Dónde se pierde el punto: en −2π/3, girar para el lado equivocado y caer en el segundo cuadrante, donde el seno sería positivo. Un ángulo negativo gira como las agujas del reloj.
Sea f(x) = −4·sen(x/2) + 1. Hallar la amplitud, el período y la imagen de f, y los x del intervalo [0 ; 4π) donde f alcanza su máximo y su mínimo.
Leo las letras: A = −4, B = 1/2, C = 0, D = 1. La amplitud es |A| = 4 y el período 2π/(1/2) = 4π: la onda está estirada al doble.
Imagen:
×(−4): 4 ≥ −4 sen(x/2) ≥ −4
+1: 5 ≥ f(x) ≥ −3 ⟹ Im(f) = [−3 ; 5]
El máximo, 5: como A es negativa, se alcanza donde el seno vale −1:
En [0 ; 4π) queda sólo x = 3π.
El mínimo, −3: donde el seno vale 1: x/2 = π/2 + 2kπ ⟹ x = π + 4kπ, y en [0 ; 4π) es x = π.
Control: f(3π) = −4·sen(3π/2) + 1 = 4 + 1 = 5 ✔ y f(π) = −4·1 + 1 = −3 ✔. La imagen mide 8 = 2|A| y su centro es 1 = D ✔
Dónde se pierde el punto: poner el máximo donde sen(x/2) = 1, como si A fuera positiva, y dar el período como 2π·(1/2) = π.
Dónde se cae la mayoría
- Pasar de grados a radianes multiplicando por 180/π: es al revés, se multiplica por π/180.
- Poner el signo del primer cuadrante en un ángulo de otro: en el III el seno y el coseno son negativos.
- Tomar 2π como período de la tangente: se repite cada π.
- Dar la imagen de A·sen(Bx + C) + D con paréntesis: el máximo y el mínimo se alcanzan, van corchetes.
- Con A negativa, buscar el máximo donde el seno vale 1: al dar vuelta la curva, ahí queda el mínimo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Seno, coseno y tangente: radianes, valores, imagen y extremos →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El coseno triplicado y un triángulo20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 3
Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría