Matemática (61) · Unidad 3 — Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría

Exponenciales y logaritmos: gráficos, dominios y ecuaciones

Una exponencial nunca llega a cero y un logaritmo no existe para los números que no son positivos. Esas dos frases dan la imagen, el dominio y la mitad de las respuestas de este tema; la otra mitad sale de leer el logaritmo como «¿a qué exponente?».

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La explicación

La exponencial: la x está arriba

f(x) = a^x con a > 0 y a ≠ 1

Se pide a > 0 porque (−4)^1/2 no existe, y a ≠ 1 porque 1^x es la constante 1. La base más usada es e ≈ 2,718; para este tema lo único que importa de ella es que es mayor que 1.

Dom = ℝ · Im = (0 ; +∞) · asíntota horizontal y = 0
a⁰ = 1 · a^x > 0 siempre

Por qué nunca vale cero: a⁻⁵ = 1/a⁵ es una fracción chiquita pero positiva. Por eso a^x = 0 y a^x = −3 no tienen solución. Si a > 1 (2^x, e^x) la exponencial crece; si 0 < a < 1 ((1/2)^x, que es 2^−x) decrece. Las dos pasan por (0 ; 1).

Correrla: la asíntota decide la imagen

Frente a f(x) = c·a^{x − h} + k:
1. El + k de afuera sube todo, asíntota incluida: pasa a ser y = k.
2. Si c > 0 la curva vive arriba de la asíntota: Im = (k ; +∞). Si c < 0 cuelga abajo: Im = (−∞ ; k).
3. El − h del exponente corre la curva de costado: no toca ni la asíntota ni la imagen.
4. Hay un cero sólo si el 0 está en la imagen; ahí se despeja.

La imagen nunca lleva corchete del lado de k: la asíntota no se alcanza.

El logaritmo: la pregunta «¿a qué exponente?»

log_a(b) = c ⟺ a^c = b

log₂(32) = 5 porque 2⁵ = 32; log₁₀(0,01) = −2 porque 10⁻² = 0,01. ln es el de base e y log₁₀ el de base 10. El logaritmo es la inversa de la exponencial, así que se intercambian dominio e imagen:

Dom(log_a) = (0 ; +∞) · Im = ℝ · asíntota vertical x = 0

No hay logaritmo de 0 ni de negativos, porque ninguna potencia de una base positiva da eso. Y como a⁰ = 1, log_a(1) = 0: el logaritmo se anula donde su argumento vale 1. Las propiedades que más se usan: log(A·B) = log A + log B, log(A/B) = log A − log B, log(Aⁿ) = n·log A. Y la trampa: log(A + B) no se separa.

Ecuaciones exponenciales

Igualar bases. Si los dos lados se escriben como potencias de la misma base, se igualan los exponentes: a^m = aⁿ ⟹ m = n. Ejemplo: 25^x = 5^{x + 3} ⟹ 5^2x = 5^{x + 3} ⟹ 2x = x + 3 ⟹ x = 3.
Tomar logaritmo. Si no se puede, se deja sola la exponencial y se aplica ln: 3e^2x = 12 ⟹ e^2x = 4 ⟹ 2x = ln 4.
Antes de todo: si del otro lado quedó un número negativo o cero, no hay solución.

Ecuaciones logarítmicas por definición

log_a(E) = c ⟹ E = a^c

Después se resuelve la ecuación en x que quedó y se verifica que el argumento dé positivo en la solución.

Dominio y ceros de un logaritmo de una expresión

1. Dominio: se plantea argumento > 0. Si el argumento es lineal queda una semirrecta (cuidado con dar vuelta la desigualdad si el coeficiente de x es negativo). Si es cuadrático, se factoriza y se mira el signo: suelen salir dos pedazos.
2. Ceros: se plantea argumento = 1 (o el valor que corresponda si hay algo sumado afuera).
3. Filtro: cada cero tiene que estar en el dominio.

El control que conviene hacer siempre

Reemplazá la solución en la ecuación original. En una exponencial suelen quedar cuentas como 2³ = 8 que se ven de un vistazo; en una logarítmica, lo primero que mirás es que el argumento sea positivo.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Resolver: a) 4^(x + 1) = 8^(x − 1). b) log₂(3x − 2) = 4. c) 5^x = −25.

a) Igualo bases. 4 y 8 son potencias de 2:

4^{x + 1} = (2²)^{x + 1} = 2^{2x + 2}
8^{x − 1} = (2³)^{x − 1} = 2^{3x − 3}
2x + 2 = 3x − 3 ⟹ x = 5

Control: 4⁶ = 4096 y 8⁴ = 4096 ✔

b) Por definición: log₂(3x − 2) = 4 quiere decir 2⁴ = 3x − 2.

3x − 2 = 16 ⟹ 3x = 18 ⟹ x = 6

Control: el argumento vale 3·6 − 2 = 16 > 0, y log₂(16) = 4 ✔

c) No tiene solución. 5^x es positivo para todo x, así que nunca puede valer −25. No hay nada que despejar, y tomar logaritmo daría ln(−25), que no existe.

Dónde se pierde el punto: en a), escribir 4^{x + 1} como 2^{2x + 1}: el 2 multiplica al exponente entero, (x + 1) con su paréntesis. En c), «resolver» y dar un número.

Y uno del nivel del parcial

Hallar el dominio y los ceros de f(x) = ln(x² − 2x − 3) y de g(x) = log₁₀(5 − 2x) + 1.

f: el argumento tiene que ser positivo. Factorizo: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Un producto es positivo cuando los dos factores tienen el mismo signo:

(x − 3)(x + 1) > 0 ⟺ x < −1 o x > 3
Dom(f) = (−∞ ; −1) ∪ (3 ; +∞)

Ceros de f: ln se anula donde el argumento vale 1.

x² − 2x − 3 = 1 ⟹ x² − 2x − 4 = 0 ⟹ x = 1 ± √5

Filtro: 1 + √5 ≈ 3,24 está en (3 ; +∞) ✔ y 1 − √5 ≈ −1,24 está en (−∞ ; −1) ✔. Los dos son ceros, uno en cada pedazo del dominio.

g: dominio. 5 − 2x > 0 ⟹ −2x > −5 ⟹ x < 5/2 (al dividir por −2 la desigualdad se da vuelta). Dom(g) = (−∞ ; 5/2).

Cero de g: log₁₀(5 − 2x) = −1 ⟹ 5 − 2x = 10⁻¹ = 0,1 ⟹ x = 2,45, que es menor que 5/2 ✔

Control: g(2,45) = log₁₀(0,1) + 1 = −1 + 1 = 0 ✔

Dónde se pierde el punto: en f, dar el dominio como (3 ; +∞) y perder el pedazo de la izquierda con su cero. En g, igualar el argumento a 1 cuando afuera hay un + 1 sumado.

Dónde se cae la mayoría

Escribir la imagen de una exponencial con corchete del lado de la asíntota: ese valor no se alcanza.
Dejar la asíntota en y = 0 cuando hay un número sumado afuera: ese número se la lleva.
Igualar los exponentes de 9^x = 3^(x + 4) sin escribir antes el 9 como potencia de 3.
Buscar los ceros de un logaritmo igualando el argumento a 0: el logaritmo se anula donde el argumento vale 1.
Dar el dominio de ln(x² − k) como una sola semirrecta: una cuadrática positiva suele dar dos pedazos.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El logaritmo de una parábola20 puntos · resuelto paso a paso

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