Matemática (61) · Unidad 3 — Composición, inversa, exponenciales, logaritmos y trigonometría
Inversas de exponenciales y logaritmos; modelos
La inversa de una exponencial es un logaritmo y al revés, así que el dominio de una es la imagen de la otra. Y en los modelos de crecimiento y enfriamiento el logaritmo aparece siempre en la misma pregunta: «¿cuándo?».
La explicación
Las dos familias, una espejo de la otra
f(x) = a·ln(bx + c) + d → asíntota vertical donde bx + c = 0
La exponencial tiene dominio ℝ y la imagen la fija su asíntota. El logaritmo tiene imagen ℝ y el dominio lo fija su argumento. Como una es la inversa de la otra, lo que en una es dominio en la otra es imagen.
Invertir: deshacer de afuera hacia adentro
2. Despejá, deshaciendo en orden inverso: primero lo que suma afuera, después lo que multiplica, y recién ahí la exponencial (con ln) o el logaritmo (con e□).
3. Cambiá los nombres.
4. Dom(f⁻¹) = Im(f) e Im(f⁻¹) = Dom(f): no se recalculan, se copian cruzados.
Ejemplo: y = 2ex + 3 − 4 ⟹ ex + 3 = (y + 4)/2 ⟹ x = ln((y + 4)/2) − 3. Como Im(f) = (−4 ; +∞), la inversa tiene dominio (−4 ; +∞), y es coherente: el argumento (x + 4)/2 es positivo justo cuando x > −4.
Un parámetro desde la imagen
«Hallar b para que Im(f) = (−3 ; +∞)» con f(x) = e5x − 1 + b: la imagen de una exponencial corrida es (b ; +∞) si el coeficiente es positivo, así que b es el extremo del intervalo: b = −3. Si el coeficiente es negativo, la imagen es (−∞ ; b) y se lee igual del otro extremo.
Crecer un porcentaje fijo: P(t) = P₀·at
Una población que crece un 3 % por año no suma siempre la misma cantidad: cada año multiplica lo que tiene por 1,03. Después de t años:
- P₀ es el valor en t = 0 (porque a0 = 1).
- La base es 1 + tasa: a > 1 crece, 0 < a < 1 decae. Un 8 % de pérdida anual es a = 0,92.
- Si el modelo viene como P₀·ekt, es lo mismo con a = ek.
«¿Cuándo?» y el tiempo de duplicación
2. Dejá sola la potencia dividiendo por P₀.
3. Tomá ln de los dos lados: el exponente baja, t·ln(a) = ln(cociente).
4. Despejá t y mirá que tenga sentido: un tiempo negativo es un error de despeje.
Para «¿cuándo se duplica?» el P₀ se cancela: P₀·at = 2P₀ ⟹ t = ln 2 / ln a. Una población que se duplica en 7 años lo hace igual si arranca con mil o con un millón.
Hallar k·ax con dos datos
Si f(x) = k·ax y te dan dos valores, dividí las dos ecuaciones: la k se cancela y queda sólo la base.
Con f(1) = 20 y f(3) = 80: a² = 80/20 = 4 ⟹ a = 2 (la base de una exponencial es positiva: el −2 no va), y k = 20/2 = 10.
Enfriamiento: la asíntota es el ambiente
Un cuerpo no se enfría hasta 0 °C sino hasta la temperatura del lugar: Tamb es la asíntota horizontal. (T₀ − Tamb) es lo que tiene para enfriarse, y e−kt la fracción que todavía queda. Dos controles gratis: T(0) = T₀, y ninguna temperatura baja de Tamb. «¿Cuándo llega a la temperatura ambiente?»: nunca, se le acerca.
El control que conviene hacer siempre
Componer (f(f⁻¹(x)) = x con un número cómodo) y, en los modelos, reemplazar el tiempo encontrado en la fórmula: tiene que devolver el valor pedido. Y redondeá recién al final: una tasa redondeada adentro de un exponente arrastra el error.
Sea f(x) = ln(2x − 4) + 3. Hallar el dominio, la imagen y la asíntota de f, la función inversa, y el dominio y la imagen de la inversa.
Dominio primero: 2x − 4 > 0 ⟹ x > 2. Dom(f) = (2 ; +∞), y la asíntota vertical es x = 2, el borde del dominio.
Imagen: un logaritmo corrido y estirado sigue llegando a todos los reales: Im(f) = ℝ.
La inversa, deshaciendo de afuera hacia adentro:
y − 3 = ln(2x − 4)
ey − 3 = 2x − 4
x = (ey − 3 + 4)/2
Dominio e imagen, cruzados: Dom(f⁻¹) = Im(f) = ℝ e Im(f⁻¹) = Dom(f) = (2 ; +∞). Y se ve en la fórmula: ex − 3/2 es positivo, así que f⁻¹ vale siempre más que 2; su asíntota horizontal es y = 2, la vertical de f dada vuelta.
Control: f(2,5) = ln(1) + 3 = 3, y f⁻¹(3) = (e0 + 4)/2 = 5/2 ✔
Dónde se pierde el punto: pasar el 3 multiplicando o tomar e de los dos lados antes de restarlo: ey = eln(2x − 4) + 3 no simplifica a nada útil.
Un cultivo de levaduras, medido en miles de células, sigue un modelo f(t) = k·aᵗ, con t en horas. A la hora hay 6 mil células y a las 3 horas, 54 mil. a) Hallar k y a. b) ¿Cuánto tarda en duplicarse? c) ¿Cuándo llega a 300 mil células?
a) Divido las dos ecuaciones para que se vaya la k:
La base es positiva, así que el −3 se descarta. Con a = 3: k·3 = 6 ⟹ k = 2. El modelo es f(t) = 2·3t, y a la hora 0 había 2 mil células.
b) Duplicación: 2·3t = 4 ⟹ 3t = 2 ⟹ t = ln 2 / ln 3 ≈ 0,63 horas, unos 38 minutos.
c) ¿Cuándo 300? Igualo y dejo sola la potencia:
Control: 2·34,56 ≈ 2·150 = 300 ✔. Y es razonable: a las 4 horas hay 162 mil y a las 5, 486 mil, así que el 300 cae en el medio ✔
Dónde se pierde el punto: tomar ln antes de dividir por 2 y escribir t = ln 300 / ln 3 ≈ 5,19, que es cuándo 3t vale 300, no cuándo lo vale f.
Dónde se cae la mayoría
- Recalcular desde cero el dominio de la inversa en vez de copiarlo de la imagen de f.
- Crecer un 3 % por año sumando siempre lo mismo: el modelo multiplica por 1,03 cada año, no suma.
- En k·a^x con dos datos, quedarse con la base negativa: la base de una exponencial es positiva.
- En el enfriamiento, multiplicar toda la temperatura inicial por e^(−kt) en vez de sólo la diferencia con el ambiente.
- Contestar que la temperatura llega a la ambiente en un tiempo finito: se le acerca, pero no la alcanza.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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