Matemática (61) · Unidad 5 — Derivadas y regla de L'Hôpital
La regla de la cadena
Cuando una función está adentro de otra, se deriva la de afuera sin tocar lo de adentro, y se multiplica por la derivada de lo de adentro. Si adentro hay otra función, se repite: la cadena se encadena.
La explicación
Cuándo hace falta
La tabla sabe derivar sen x, eˣ, ln x, xn. Pero casi nunca aparecen solas: aparecen sen(3x), ex² + x, ln(x² + 5), (2x + 1)7. En todas hay una función de afuera aplicada a una expresión de adentro que no es una x sola. Eso es una composición, y se deriva con la cadena:
En palabras: derivás la de afuera dejando lo de adentro escrito tal cual, y multiplicás por la derivada de lo de adentro.
Cómo darse cuenta de quién está afuera
Preguntate cuál sería la última tecla si calcularas f(2) con la calculadora. En e3x − 1 primero hacés 3·2 − 1 y al final exponenciás: la de afuera es la exponencial. En (x² + 1)4 al final elevás a la cuarta. En sen²x, que se lee (sen x)², primero sacás el seno y al final elevás al cuadrado: la de afuera es el cuadrado, y la de adentro el seno. Con sen(x²) es al revés.
Las cuatro que más se usan
[ eu ]′ = eu·u′
[ ln u ]′ = u′ / u
[ sen u ]′ = cos u·u′ · [ cos u ]′ = −sen u·u′
Las raíces son potencias: √u = u1/2, así que (√u)′ = u′/(2√u). Y las potencias de funciones son la primera fila con u = sen x, u = ln x o lo que venga:
(ln²x)′ = 2 ln x · (1/x)
La cadena doble
Si lo de adentro es también una composición, se aplica la regla otra vez. Se va de afuera hacia adentro, y cada capa deja su factor multiplicando:
[ e1/sen x ]′ = e1/sen x · (−cos x / sen²x)
2. Derivá la capa de afuera y copiá lo de adentro sin tocarlo.
3. Multiplicá por la derivada de la capa siguiente, también con su adentro copiado.
4. Seguí hasta llegar a una x sola, cuya derivada es 1.
5. Contá los factores: tiene que haber uno por capa.
Romper el logaritmo antes de derivar
Si te dan el logaritmo de un producto, de un cociente, de una potencia o de una raíz, usá las propiedades primero. La cuenta se vuelve una suma de logaritmos simples y la regla del cociente desaparece:
ln( A/B ) = ln A − ln B
ln( An ) = n·ln A · ln √A = ½ ln A
Por ejemplo, ln((3x + 1)/x) = ln(3x + 1) − ln x, cuya derivada es 3/(3x + 1) − 1/x. Una constante que multiplica adentro, como en ln(5x), no cambia nada: ln(5x) = ln 5 + ln x y el ln 5 se va al derivar.
Cadena con producto o cociente
En ((x + 1)/x)·e−2x la última operación es multiplicar: se usa la regla del producto, y cuando toca derivar e−2x se usa la cadena adentro. El orden de ataque es siempre el mismo: la regla de la última operación primero, y cada derivada pendiente con la suya.
El control que conviene hacer siempre
Contá los factores de la cadena: ecos(2x) tiene tres capas (exponencial, coseno, 2x) y su derivada tiene que tener tres factores. Si falta uno, se nota sin hacer ninguna cuenta. Y el control numérico de siempre: f ′(x0) contra [f(x0 + 0,001) − f(x0)] / 0,001.
Hallar la derivada de f(x) = sen³(2x) y calcular f′(π/8).
Planteo: sen³(2x) es (sen(2x))³. Tres capas, de afuera hacia adentro: el cubo, el seno y el 2x.
Capa por capa:
seno → cos(2x)
2x → 2
Se multiplican los tres factores:
El valor: en x = π/8, el argumento es 2x = π/4, y sen(π/4) = cos(π/4) = √2/2.
Control de factores: tres capas, tres factores (3 sen², cos, 2) ✔
Control numérico: f(π/8) = (√2/2)³ ≈ 0,35355 y f(π/8 + 0,001) ≈ 0,35567; la diferencia sobre 0,001 da ≈ 2,12 ✔
Dónde se pierde el punto: escribir 3 sen²(2x)·cos(2x) y olvidarse del 2 de la capa de adentro. Da la mitad del valor correcto, y es el error más común del tema.
Sea f(x) = ln( (x² + 1)/(x + 3)² ), para x > −3. Hallar f′(x) y los x donde se anula.
Planteo: atacarlo con la cadena del ln y adentro la regla del cociente es posible, pero largo. Conviene romper el logaritmo primero:
El cuadrado del denominador bajó como un 2 que multiplica. Ahora cada término es un logaritmo simple.
Derivo cada uno con [ln u]′ = u′/u:
[2 ln(x + 3)]′ = 2/(x + 3)
f ′(x) = 2x/(x² + 1) − 2/(x + 3)
Una sola fracción, para ver dónde se anula:
= (6x − 2) / [(x² + 1)(x + 3)]
Los x² se cancelaron. El denominador no se anula en el dominio (x² + 1 > 0 y x + 3 > 0), así que f ′ = 0 sólo cuando 6x − 2 = 0: x = 1/3.
Control: 2(1/3)/(1/9 + 1) = (2/3)/(10/9) = 3/5, y 2/(1/3 + 3) = 2/(10/3) = 3/5. La resta da 0 ✔
Dónde se pierde el punto: romper el logaritmo como ln(x² + 1)/ln(x + 3)². El logaritmo de un cociente es una resta de logaritmos, no un cociente.
Dónde se cae la mayoría
- Derivar la función de afuera y no multiplicar por la derivada de lo de adentro: (sen 3x)′ no es cos 3x.
- Derivar también lo de adentro en el primer factor: en (x² + 1)⁵ el adentro se copia igual, 5(x² + 1)⁴, y no 5(2x)⁴.
- Confundir sen²x con sen(x²): en la primera la capa de afuera es el cuadrado, en la segunda el seno.
- En la cadena doble, frenar en la segunda capa y olvidarse del último factor.
- No romper el logaritmo de un cociente y perderse en una regla del cociente adentro de otra.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La regla de la cadena →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La tangente horizontal y el límite que se resiste20 puntos · resuelto paso a paso
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