Matemática (61) · Unidad 5 — Derivadas y regla de L'Hôpital
Recta tangente: con condiciones y con parámetros
Una tangente son dos datos: por dónde pasa y con qué inclinación. Casi todos los ejercicios del tema son ese mismo par de ecuaciones, f(x₀) y f′(x₀), leído en distinto orden.
La explicación
La fórmula, que es una recta punto-pendiente
Pasa por (x0, f(x0)) con pendiente m = f ′(x0). Cerca de x0 la recta y la curva casi no se distinguen: es la recta que mejor imita a f ahí.
2. f(x0): la altura, con la función original.
3. f ′(x0): la pendiente. Primero derivás la función entera, después reemplazás.
4. Armás la recta y, si la piden como y = mx + b, distribuís.
Cuatro preguntas que son la misma cuenta al revés
Todos los x0 con pendiente dada m: se resuelve f ′(x) = m. Puede haber una solución, varias o ninguna. Y hay que mirar el dominio: con un logaritmo, una solución de la ecuación puede caer donde f no existe, y ésa se descarta.
o sea x < −5 o x > 5
La tangente es horizontal: es el caso m = 0, o sea f ′(x) = 0.
La tangente es paralela a y = mx + c: dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, así que otra vez f ′(x) = m. La c no interviene. Por cada solución hay un punto y una recta distinta.
El punto donde la tangente ES una recta dada y = mx + c: acá hacen falta las dos condiciones a la vez.
La primera da candidatos; la segunda decide cuál de ellos está sobre la recta. Un punto con la pendiente justa pero a otra altura tiene una tangente paralela, no la misma.
Cuando la función trae letras
Si f tiene un parámetro (a, b, k), se deriva dejando las letras como letras: son constantes, y su derivada es 0. Después se traduce el dato a ecuaciones:
«la tangente en x0 es horizontal» → f ′(x0) = 0
«la tangente en x0 es y = mx + c» → f ′(x0) = m y f(x0) = m·x0 + c
Una letra pide una ecuación; dos letras, dos. Por eso cuando dan la recta completa suele haber dos parámetros: la pendiente despeja uno y la altura el otro.
2. Derivá f con las letras adentro.
3. Escribí cada condición como ecuación. La altura del punto se calcula con la recta, que se conoce entera.
4. Resolvé empezando por la ecuación que tenga una sola letra. Casi siempre x0 = 0 o x0 = 1 hace que algo se simplifique: e⁰ = 1, ln 1 = 0.
5. Reemplazá las letras y verificá las dos condiciones.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá x0 en la recta que obtuviste: tiene que darte f(x0). Si no da, la recta no toca la curva, y el error está en la ordenada al origen. Con parámetros, además, fijate que el valor hallado no deje a la función fuera de su dominio en x0.
Escribir la ecuación de la tangente a la curva y = √(3x + 4) en el punto de abscisa x₀ = 4.
Planteo: los tres números de siempre, en orden: x0, la altura y la pendiente.
La altura: f(4) = √(12 + 4) = √16 = 4. El punto es (4, 4).
La pendiente: la raíz tiene algo adentro, así que va la cadena.
f ′(4) = 3 / (2·4) = 3/8
La recta:
y = (3/8)x − 3/2 + 4 = (3/8)x + 5/2
Control de paso: en x = 4 la recta da 3/2 + 5/2 = 4, la altura del punto ✔
Control de inclinación: f(4,01) = √16,03 ≈ 4,00375, o sea que la curva sube 0,00375 en 0,01: pendiente ≈ 0,375 = 3/8 ✔
Dónde se pierde el punto: derivar √(3x + 4) como 1/(2√(3x + 4)) y olvidarse del 3 de adentro. Da una pendiente de 1/8 y una recta que corta la curva en vez de tocarla.
Hallar todos los valores de x₀ para los que la recta tangente al gráfico de f(x) = ln(4x² − 1) en (x₀, f(x₀)) tiene pendiente 8/3, y escribir la ecuación de cada una.
Primero el dominio, porque va a decidir el final: 4x² − 1 > 0 ⟺ x² > 1/4 ⟺ x < −1/2 o x > 1/2. El intervalo (−1/2 ; 1/2) no existe para f.
La derivada, con la cadena del logaritmo:
La ecuación de la pendiente:
24x = 8(4x² − 1) → 32x² − 24x − 8 = 0
4x² − 3x − 1 = 0 → x = 1 o x = −1/4
El dominio descarta una: x = −1/4 está en (−1/2 ; 1/2), donde 4x² − 1 = −3/4 es negativo. Ahí f no existe y no hay recta tangente. Queda sólo x0 = 1.
La recta en x0 = 1: f(1) = ln 3 y la pendiente es 8/3.
Control: f ′(1) = 8/(4 − 1) = 8/3 ✔ Y para el descarte, f ′(−1/4) daría −2/(−3/4) = 8/3: la cuenta funciona, pero en un punto donde la función no está.
Dónde se pierde el punto: contestar «1 y −1/4». La ecuación de f ′ no sabe nada del dominio: el que lo sabe sos vos.
Dónde se cae la mayoría
- Reemplazar x₀ en f antes de derivar: queda un número y la pendiente sale 0.
- Usar f ′(x₀) como altura del punto, o f(x₀) como pendiente.
- Quedarse con una solución de f ′(x) = m que cae fuera del dominio del logaritmo.
- En «la tangente es y = mx + c», usar sólo la condición de pendiente y dar como respuesta un punto que no está sobre la recta.
- Derivar las letras como si fueran variables: a, b y k son constantes.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Recta tangente: con condiciones y con parámetros →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La tangente horizontal y el límite que se resiste20 puntos · resuelto paso a paso
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