Matemática (61) · Unidad 5 — Derivadas y regla de L'Hôpital
Derivadas sucesivas, velocidad y aceleración
La derivada de la derivada es otra función, y se puede seguir derivando. Con una posición que depende del tiempo, la primera derivada es la velocidad y la segunda es la aceleración.
La explicación
Derivar otra vez
f ′ es una función como cualquier otra, así que también tiene derivada. Se la llama derivada segunda y se escribe f ′′. La derivada de f ′′ es la tercera, f ′′′, y así:
No hay atajos: se deriva de a una y en orden, y cada vez con las mismas reglas de siempre. Lo que conviene es simplificar cada derivada antes de volver a derivar, porque la siguiente cuenta sale de esa expresión y cualquier desprolijidad se arrastra.
Tres familias con patrón
En algunas funciones las derivadas repiten una forma, y verla ahorra trabajo y sirve de control:
e^(kx): k·e^(kx), k²·e^(kx), k³·e^(kx)
1/(x + c): −1/(x+c)², 2/(x+c)³, −6/(x+c)⁴
En la primera, cada derivada saca otra k afuera y el signo va rotando. En la tercera, los números que aparecen son 1, 2, 6: cada vez baja un exponente más grande. En un polinomio, en cambio, cada derivada baja un grado y en algún momento todo se vuelve 0.
2. Derivá lo que te quedó, como si fuera una función nueva.
3. Repetí hasta la derivada que te pidan.
4. Recién al final reemplazá el valor de x. Reemplazar antes deja un número, y la derivada de un número es 0.
Posición, velocidad y aceleración
Si x(t) es la posición de un móvil que se mueve en línea recta, a los t segundos:
a(t) = v′(t) = x′′(t) aceleración (m/s²)
La velocidad es la pendiente del gráfico de posición: dice cuánto cambia x por segundo, en ese instante. Su signo dice para dónde va: positiva hacia adelante, negativa hacia atrás. Cuando v se anula, el móvil se detiene, y si v cambia de signo ahí, da vuelta.
La aceleración es la pendiente del gráfico de velocidad. Si a y v tienen el mismo signo, el móvil va cada vez más rápido; si tienen signos contrarios, está frenando. Por eso el signo de a solo no dice «acelera» o «frena»: hay que compararlo con el de v.
Dos móviles que se encuentran
Un ejercicio típico: dos móviles con ecuaciones xA(t) y xB(t), una con letras, y la condición de que en cierto instante t0 estén en el mismo lugar y con la misma velocidad. Son dos condiciones, y se traducen a dos ecuaciones:
xA′(t0) = xB′(t0) (misma velocidad)
Con dos letras, es un sistema de dos ecuaciones. Gráficamente, las dos curvas de posición se tocan en t0 con la misma tangente: es la misma idea que en el tema de la recta tangente, pero con dos curvas.
El control que conviene hacer siempre
Mirá las unidades y el grado. Si x está en metros y t en segundos, v tiene que salir en m/s y a en m/s². Y en un polinomio, cada derivada baja un grado: si la aceleración te quedó de grado 3 partiendo de una posición de grado 3, derivaste una sola vez.
Sea f(x) = ln(2x + 1). Calcular f′, f′′ y f′′′, y el valor de f′′′(0).
Planteo: se deriva de a una. Conviene escribir cada derivada como potencia de (2x + 1), porque así la siguiente es una cadena con una potencia.
La primera, con la cadena del logaritmo:
La segunda: baja el −1 y la cadena saca otro 2.
La tercera: baja el −2 y otra vez sale un 2.
El valor: f ′′′(0) = 16/1 = 16.
Control de patrón: los coeficientes fueron 2, −4, 16: cada derivada multiplica por el exponente que baja (−1, −2) y por el 2 de adentro. Y el signo alterna, como en 1/(x + c) ✔
Control numérico: f ′′(0,001) = −4/1,002² ≈ −3,98404 y f ′′(0) = −4. La diferencia sobre 0,001 da ≈ 15,96, cerca de 16 ✔
Dónde se pierde el punto: olvidarse del 2 de la cadena en la segunda o en la tercera derivada. Cada vez que se deriva una potencia de (2x + 1), aparece un 2 nuevo.
Dos móviles se desplazan en línea recta: A según x_A(t) = t³ − 3t + 1 y B según x_B(t) = a·t² + b (en metros y segundos). Hallar a y b para que en t = 2 estén en el mismo lugar y tengan la misma velocidad, y calcular la aceleración de cada uno en ese instante.
Planteo: dos letras y dos condiciones, «mismo lugar» y «misma velocidad», las dos en t = 2.
Lo que sabemos de A, que no tiene letras:
vA(t) = 3t² − 3 → vA(2) = 9
Lo de B, con las letras:
vB(t) = 2at → vB(2) = 4a
Misma velocidad: 4a = 9, o sea a = 9/4. La b no aparece, porque una constante no cambia la velocidad.
Mismo lugar: 4·(9/4) + b = 3, o sea 9 + b = 3 y b = −6.
Las aceleraciones:
aB(t) = 2a = 9/2 m/s², constante
Van juntos y a la misma velocidad, pero A acelera más: justo después de t = 2, A se adelanta.
Control: xB(t) = (9/4)t² − 6 da en t = 2 el valor 9 − 6 = 3 ✔ y vB(2) = (9/2)·2 = 9 ✔
Dónde se pierde el punto: usar sólo la condición de posición: queda una ecuación con dos letras y no se puede despejar ninguna.
Dónde se cae la mayoría
- Reemplazar el valor de x o de t antes de derivar la segunda vez: queda un número y su derivada es 0.
- Derivar dos veces la posición para la velocidad, o una sola vez para la aceleración.
- En sen(kx), olvidarse de que cada derivada saca otra k: la tercera derivada de sen(4x) lleva 4³.
- En «mismo lugar y misma velocidad», usar sólo una de las dos condiciones.
- Decidir que un móvil frena sólo porque a es negativa, sin mirar el signo de v.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Derivadas sucesivas, velocidad y aceleración →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La tangente horizontal y el límite que se resiste20 puntos · resuelto paso a paso
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