Matemática (61) · Unidad 6 — Estudio de funciones y optimización
Extremos absolutos y modelos biológicos
En un intervalo cerrado, una función continua alcanza siempre un valor más alto y uno más bajo, y están en un punto crítico o en un borde: se evalúan todos y se comparan. Es lo que se usa para saber cuándo un fármaco llega a su pico o hacia dónde va una población.
La explicación
Relativo contra absoluto
Un máximo relativo es el más alto de sus vecinos. El máximo absoluto en un intervalo es el más alto de todos los valores de f en ese intervalo. Pueden no coincidir: una función puede tener un lomo chiquito y después seguir subiendo hasta el borde, y entonces el máximo absoluto está en el borde.
El método del intervalo cerrado
Si f es continua en [a ; b], tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto ahí. Y sólo pueden estar en tres clases de lugares: los críticos donde f ′ = 0, los puntos donde f ′ no existe, y los dos bordes.
2. Evaluá f en cada uno de esos críticos y en los bordes a y b.
3. El mayor de todos esos valores es el máximo absoluto; el menor, el mínimo absoluto.
4. Si además te piden los relativos, clasificá los críticos con el cuadro de signos, como siempre.
No hace falta clasificar para encontrar los absolutos: alcanza con comparar la lista.
Cuando la derivada no existe: potencias fraccionarias
Con x2/3, la derivada es (2/3)x−1/3 = 2/(3∛x), que no existe en 0: el gráfico hace una punta hacia abajo (un pico) y ahí hay un mínimo. Con x5/3 − 5x2/3 pasa algo parecido: al sacar factor común queda un x−1/3 que no existe en 0. Esos puntos entran en la lista aunque f ′ no valga 0.
Un detalle de cuentas: ∛ de un negativo es negativo, (−8)1/3 = −2, y entonces (−8)2/3 = 4.
Los modelos
Concentración de un fármaco. Funciones como C(t) = a·t/(t² + b) o C(t) = a·t·e−kt empiezan en 0, suben hasta un pico y bajan hacia 0 a medida que el cuerpo lo elimina. «¿Cuándo es máxima?» es hallar el crítico; «¿cuándo aumenta?» es el intervalo donde C′ > 0.
Una fiebre o una respuesta que sube y se apaga, como T(h) = 37 + c·h·e−h/k, se estudia igual: el pico sale de T′ = 0 y el valor máximo, de reemplazar.
Dos drogas. Compararlas es estudiar cada una por separado: cuál tiene el pico más alto (el mayor valor máximo) y cuál llega antes (el menor t del máximo). Son dos preguntas distintas y pueden tener respuestas distintas.
La logística. Una población que crece hasta llenar su espacio:
- Población inicial: p(0) = ℓ/(1 + k).
- Siempre crece: p′(t) = ℓ·k·a·e−at/(1 + k·e−at)², que es positiva porque todo es positivo.
- Hacia dónde va: e−at → 0, así que p → ℓ. La asíntota horizontal y = ℓ es la capacidad del ambiente.
- La mitad de la capacidad se alcanza cuando k·e−at = 1, o sea en t = ln(k)/a.
El control que conviene hacer siempre
Hacé la tabla de valores con todos los candidatos, bordes incluidos, y mirá si el resultado es razonable: el máximo absoluto no puede ser menor que ningún valor de la tabla. En los modelos, que el tiempo del pico sea positivo y que el valor tenga las unidades del problema.
Sea f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 1 en el intervalo [−2 ; 3]. Hallar los extremos relativos y absolutos.
Críticos:
Se anula en −1 y en 2, los dos adentro de [−2 ; 3].
La tabla de candidatos, con los bordes:
f(−1) = −2 − 3 + 12 + 1 = 8
f(2) = 16 − 12 − 24 + 1 = −19
f(3) = 54 − 27 − 36 + 1 = −8
Absolutos: el mayor valor es 8, en x = −1: máximo absoluto. El menor es −19, en x = 2: mínimo absoluto.
Relativos: f ′ > 0 en (−2 ; −1), < 0 en (−1 ; 2) y > 0 en (2 ; 3). Máximo relativo en −1 y mínimo relativo en 2. Acá coinciden con los absolutos, porque los bordes quedaron en el medio: f(−2) = −3 y f(3) = −8.
Control: todos los valores de la tabla están entre −19 y 8 ✔ Y si el intervalo fuera [−2 ; 5], el borde f(5) = 250 − 75 − 60 + 1 = 116 pasaría a ser el máximo absoluto, aunque el relativo siga en −1.
Dónde se pierde el punto: dar sólo los relativos y no evaluar los bordes. Acá no cambió el resultado, pero en la mitad de los ejercicios sí.
Sea f(x) = x^(5/3) − 5x^(2/3) en [−1 ; 8]. Hallar los extremos absolutos.
Derivada, con factor común la potencia más chica:
= (5/3)x−1/3(x − 2) = 5(x − 2) / (3∛x)
Los críticos son dos, de las dos clases: f ′ = 0 en x = 2, y f ′ no existe en x = 0 (el ∛x del denominador). Los dos están en [−1 ; 8].
La tabla, usando que x5/3 − 5x2/3 = x2/3(x − 5):
f(0) = 0
f(2) = 22/3·(−3) ≈ −4,76
f(8) = 4·3 = 12
Absolutos: máximo absoluto 12 en x = 8, mínimo absoluto −6 en x = −1. Los dos en los bordes.
Y los relativos: f ′ > 0 en (−1 ; 0) (arriba negativo, abajo negativo), < 0 en (0 ; 2) y > 0 en (2 ; 8). En 0 hay un máximo relativo en forma de punta (vale 0) y en 2 un mínimo relativo (≈ −4,76). Ninguno de los dos es absoluto.
Control: (−1)2/3 = (∛−1)² = (−1)² = 1, por eso f(−1) = −6 y no algo complejo ✔ Y en 8, 82/3 = (∛8)² = 4 ✔
Dónde se pierde el punto: buscar sólo f ′ = 0 y perder el x = 0. Sin él, el cuadro de signos sale mal y aparece un único mínimo donde hay un máximo y un mínimo.
Dónde se cae la mayoría
- No evaluar los bordes del intervalo, que muchas veces son el máximo o el mínimo absoluto.
- Evaluar un crítico que cae fuera del intervalo.
- Olvidarse de los puntos donde f ′ no existe, como el 0 de x^(2/3).
- Contestar el momento del pico cuando preguntan la concentración máxima, o al revés.
- En la logística, confundir la población inicial ℓ/(1 + k) con la capacidad ℓ.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Extremos absolutos y modelos biológicos →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La bandeja de almácigos20 puntos · resuelto paso a paso
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