Matemática (61) · Unidad 7 — Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales
Primitivas, la primitiva con condición y el movimiento
Integrar es derivar al revés: buscar la función cuya derivada es la que tenés. Como sumarle una constante no cambia la derivada, las respuestas son infinitas, y un dato del tipo g(x₀) = y₀ elige una sola.
La explicación
Para qué sirve dar vuelta la derivada
Hasta acá, dada una función sabías sacar su derivada: la pendiente, la velocidad, la razón de cambio. Integrar es el camino de vuelta: tenés la razón de cambio y querés la cantidad. Tenés la velocidad de un móvil y querés dónde está; tenés cuánto crece una población por año y querés cuánta gente hay.
La familia de todas las primitivas se escribe con el signo de integral:
Por qué son infinitas: la constante C
Si G′ = g, entonces (G + 5)′ = g también, porque la derivada de una constante es 0. Todas las primitivas de una misma función son la misma curva corrida para arriba o para abajo: en cada x tienen exactamente la misma pendiente. Es lo que muestra el dibujo: cada rayita marca la pendiente g(x) que tiene que tener la curva al pasar por ahí, y las curvas que siguen las rayitas son las primitivas, una por cada valor de C.
Por eso olvidarse la C no es un detalle de prolijidad: cuando te pidan la primitiva que pasa por un punto, la C es justo lo que se ajusta.
La tabla que hay que saber
∫ (1/x) dx = ln|x| + C
∫ ex dx = ex + C
∫ cos(x) dx = sen(x) + C
∫ sen(x) dx = −cos(x) + C
La regla de la potencia sirve para cualquier exponente salvo −1, incluidos los fraccionarios y los negativos. Por eso, antes de integrar, se reescribe todo como potencia: √x = x1/2, 1/x⁴ = x−4, ∛x = x1/3. El caso n = −1 quedaría dividido por cero, y lo cubre el logaritmo. Y ojo con el signo del seno: al derivar, el menos aparece en el coseno; al integrar, en el seno.
Linealidad: la suma se parte, el producto no
Una suma se integra término por término y los números que multiplican salen afuera. Lo que no vale es partir un producto: ∫x²·(1 + √x) dx no es ∫x² dx · ∫(1 + √x) dx. Si el producto es de potencias, se distribuye primero y se integra la suma que queda; si no, hacen falta los métodos de los temas que siguen.
2. Escribí cada término como potencia de x (raíces y denominadores incluidos).
3. Aplicá la tabla término por término, sacando afuera los números.
4. Sumá una sola C al final.
5. Derivá lo que te dio y compará con el integrando.
La primitiva que cumple una condición
Si además te dan un dato g(x₀) = y₀, de toda la familia queda una sola. Se integra con la C puesta, se reemplaza x por x₀, se iguala a y₀ y se despeja C. El dato entra al final, nunca en el medio de la integración. Y al reemplazar, cuidado con lo que no se anula: e⁰ = 1 y cos(0) = 1, no 0.
Del movimiento: de la aceleración a la posición
La velocidad es la derivada de la posición y la aceleración es la derivada de la velocidad. Integrando se hace el camino inverso, y cada integración trae su constante:
La velocidad inicial fija C₁ y la posición inicial fija C₂, en ese orden. No se pueden cruzar: el dato de posición no dice nada de la velocidad.
Una distinción que se toma: si la velocidad cambia de signo, el móvil da la vuelta. El desplazamiento es x(final) − x(inicial); la distancia recorrida suma lo que anduvo en cada sentido, y para eso hay que partir en los instantes en que v = 0.
El control que conviene hacer siempre
Derivá tu resultado. Si volvés exactamente al integrando, está bien: es la definición de primitiva. Y si había una condición, reemplazá y fijate que se cumpla. Son dos controles distintos: derivar controla la integración, reemplazar controla la C.
Calcular ∫ (x^3 − 4√x + 6/x^4 + 2 sen(x)) dx.
Planteo: es una suma de cuatro términos, así que por linealidad cada uno se integra por separado y los números salen afuera. Antes de aplicar la tabla, reescribo las raíces y los denominadores como potencias:
Término por término:
∫4x1/2 dx = 4·x3/2/(3/2) = (8/3)x3/2
∫6x−4 dx = 6·x−3/(−3) = −2x−3
∫2sen(x) dx = −2cos(x)
Dividir por 3/2 es multiplicar por 2/3: por eso aparece el 8/3. Y en el tercero el exponente sube de −4 a −3 (subir uno a un negativo lo acerca a cero) y se divide por ese −3.
Control (derivar): (x⁴/4)′ = x³; ((8/3)x3/2)′ = (8/3)(3/2)x1/2 = 4√x; (−2x−3)′ = 6x−4; (−2cos x)′ = 2sen x. Con los signos del resultado vuelvo a x³ − 4√x + 6/x⁴ + 2sen(x) ✔
Dónde se pierde el punto: bajar el exponente de −4 a −5 en vez de subirlo, y el signo del seno.
Un bote parte del muelle (x = 0) en t = 0 a 8 m/s y su aceleración es a(t) = 3 − t, en m/s². ¿En qué instante se detiene? ¿A qué distancia del muelle está en ese momento?
Planteo: me dan la aceleración y quieren posición, así que hay que integrar dos veces, fijando cada constante con su dato.
La velocidad. Integro a(t) y uso v(0) = 8:
Cuándo se detiene: cuando v(t) = 0. Multiplico por −2 para que quede más cómoda:
t = −2 es anterior a la partida y se descarta: se detiene en t = 8 s. Fijate que al principio sigue acelerando (a > 0 hasta t = 3) y recién después frena.
La posición. Integro v(t) y uso x(0) = 0:
Control: entre 0 y 8 la velocidad no cambia de signo (vale 8 al principio y 0 recién al final), así que el bote nunca volvió y la distancia al muelle es x(8). Derivando x(t) vuelve v(t) ✔, y derivando v(t) vuelve 3 − t ✔.
Dónde se pierde el punto: usar la posición inicial en la primera integración, y quedarse con la raíz negativa.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidarse el + C, y después no tener qué despejar cuando dan una condición.
- Integrar un producto multiplicando las primitivas de cada factor: primero hay que distribuir.
- Usar x^(n+1)/(n+1) con n = −1: ahí queda dividido por cero, y 1/x se integra con ln|x|.
- Escribir ∫sen(x) dx = cos(x): la primitiva del seno lleva un menos.
- En el movimiento, usar la posición inicial para despejar la constante de la velocidad, o dar el desplazamiento cuando piden la distancia recorrida.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Primitivas, la primitiva con condición y el movimiento →Los otros temas de la unidad 7
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