Matemática (61) · Unidad 7 — Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales
Integración por partes
Cuando el integrando es un producto de dos funciones de familias distintas y ninguna es la derivada de la otra, partes cambia la integral por otra. Sirve si la nueva es más fácil, y eso depende de qué se elige como u.
La explicación
De dónde sale
La sustitución necesita ver, adentro del integrando, una función y su derivada. En ∫ x·cos(x) dx eso no pasa: son dos funciones de familias distintas multiplicándose. Ahí entra partes, que es la regla del producto leída al revés. Como (u·v)′ = u′·v + u·v′, integrando los dos lados y despejando:
La fórmula no resuelve la integral: la cambia por otra, ∫ v du. Todo el método es elegir u y dv para que esa integral nueva sea más fácil que la de partida. Si queda peor, se eligió al revés, y se vuelve a empezar con la elección cambiada.
Cómo elegir u, que es todo el asunto
u es la que se simplifica al derivar; dv es la que no se complica al integrar. El cuadro del dibujo lo resume por familias. La razón es concreta: derivar x³ baja a 3x² y derivar ln(x) da 1/x, mientras que eˣ, sen y cos se reproducen para siempre, así que conviene dejarlas del lado que sólo hay que integrar. El logaritmo va siempre de u: integrarlo es justo lo que no sabemos hacer.
2. Calculá du derivando u, y v integrando dv (sin C: alcanza con una primitiva).
3. Armá u·v − ∫v du, con el menos puesto.
4. Resolvé la integral nueva; si todavía es un producto más fácil, aplicá partes otra vez con el mismo criterio.
5. Sumá la C al final y derivá para controlar.
El logaritmo solo, y el que hay que simplificar antes
∫ ln(x) dx no tiene producto a la vista: se lo inventa con dv = dx (v = x) y u = ln(x). Queda x·ln(x) − ∫ x·(1/x) dx = x·ln(x) − x + C. Y antes de integrar un logaritmo, usá sus propiedades: ln(x⁵) = 5·ln(x), ln(1/x) = −ln(x), ln(√(x + 3)) = (1/2)·ln(x + 3). Simplificar primero ahorra una integral entera.
Cuando hay que aplicarlo dos veces
En ∫ x²·e3x dx, la primera vuelta baja x² a 2x y deja una integral con x·e3x: todavía es un producto, pero más fácil. La segunda vuelta baja la x a 1. La señal de que vas bien es que el exponente de x baja de a uno. Lo que no hay que hacer es cambiar de criterio en la segunda vuelta: si ahí tomás u = e3x, deshacés la primera y volvés al principio.
La que vuelve: exponencial por seno o coseno
En ∫ e−x·sen(x) dx ninguna de las dos se simplifica al derivar. Se aplica partes dos veces con el mismo criterio y, en la segunda, reaparece la integral del principio. Llamándola I queda una ecuación:
No es un círculo vicioso: es un despeje. Lo importante es no pasar la I al otro lado con el signo mal, y no olvidarse de dividir.
Polinomio por una potencia de (x − a)
En ∫ (x + 3)·(x − 1)−4 dx el polinomio va de u y la potencia de dv: (x − 1)−4 se integra como potencia (sube a −3 y se divide por −3), y el polinomio se simplifica al derivar. También sale por sustitución con u = x − 1 despejando x, y conviene saber que los dos caminos dan lo mismo.
El control que conviene hacer siempre
Derivá el resultado con la regla del producto. Tienen que cancelarse términos: en x·sen(x) + cos(x), la derivada es sen(x) + x·cos(x) − sen(x) = x·cos(x) ✔. Si no se cancelan, hay un signo mal, casi siempre el menos de la fórmula.
Calcular ∫ x·cos(2x) dx.
Planteo: una potencia por un coseno, y el 2x de adentro no tiene su derivada afuera: no es sustitución. Va por partes, con la potencia de u.
dv = cos(2x) dx → v = sen(2x)/2
El 1/2 de v es el de la sustitución lineal: al derivar sen(2x) sale un 2 que hay que descontar.
La fórmula:
La integral que quedó ya no tiene la x molestando. Resolviéndola:
y el menos de la fórmula con este menos dan más:
Control (derivar con la regla del producto): (x·sen(2x)/2)′ = sen(2x)/2 + x·cos(2x), y (cos(2x)/4)′ = −sen(2x)/2. Sumando, los dos senos se cancelan y queda x·cos(2x) ✔
Qué pasaba eligiendo al revés: con u = cos(2x) y dv = x dx, v = x²/2 y la integral nueva tiene x²·sen(2x): peor que la de partida.
Dónde se pierde el punto: los dos factores 1/2 (el de v y el de integrar sen(2x)) y el doble signo menos.
Calcular ∫ e^(2x)·cos(x) dx.
Planteo: exponencial por coseno: ninguna se simplifica al derivar. Es de las que vuelven, así que la llamo I y aplico partes dos veces con el mismo criterio: u la trigonométrica, dv la exponencial.
Primera vuelta. u = cos(x), dv = e2x dx, así que du = −sen(x) dx y v = e2x/2:
El más sale de restar un v·du que ya era negativo.
Segunda vuelta, sobre ∫ e2xsen(x) dx: u = sen(x), dv = e2x dx, du = cos(x) dx:
Apareció I otra vez. Reemplazo y despejo:
(5/4)·I = e2x·(2cos(x) + sen(x))/4
Control (derivar): (e2x)′·(2cos x + sen x)/5 + e2x(−2sen x + cos x)/5 = e2x(4cos x + 2sen x − 2sen x + cos x)/5 = e2xcos(x) ✔
Dónde se pierde el punto: cambiar de criterio en la segunda vuelta (se deshace la primera y queda I = I), y pasar el −I/4 al otro lado sin sumarlo.
Dónde se cae la mayoría
- Elegir u = eˣ o u = sen(x): la integral nueva queda con una potencia más alta y es peor que la original.
- Perder el menos de −∫v du, o el que trae v cuando dv es un seno.
- Integrar un logaritmo sin simplificarlo antes: ln(x³), ln(1/x) o ln(√(x + 2)) se convierten en un número por ln.
- En la que vuelve, cambiar de criterio en la segunda vuelta, o despejar I olvidándose de dividir por 2.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Integración por partes →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Un área que no es la integral, y una ecuación diferencial20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 7
Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales