Matemática (61) · Unidad 7 — Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales
Áreas de regiones
El área entre dos curvas es la integral de la de arriba menos la de abajo. Casi todo el trabajo está antes de integrar: encontrar los cortes, decidir quién está arriba en cada tramo y partir donde eso cambia.
La explicación
La idea, en una tira
Cortá la región en tiras verticales muy finas. Cada tira tiene ancho dx y altura igual a la de arriba menos la de abajo. Sumando todas las tiras:
La fórmula no mira el signo de las funciones: aunque las dos estén debajo del eje x, la resta de las alturas es positiva y el área sale bien. Lo que importa es quién está más arriba, no si son positivas.
El método completo
2. Hallá los cortes igualando las funciones (o cada una con el eje, si el eje es un borde). Si el enunciado da un intervalo, los extremos son ésos, pero los cortes de adentro igual hay que buscarlos.
3. En cada tramo, decidí quién va arriba evaluando las dos en un punto de adentro.
4. Integrá la de arriba menos la de abajo en cada tramo y sumá.
5. Controlá que dé positivo y de un tamaño razonable.
Curva y eje x, con cambio de signo
El eje es la función 0. Donde f está arriba el integrando es f; donde está abajo, es 0 − f = −f. Si f cambia de signo en el intervalo, integrar de una sola vez da el balance y no el área: los pedazos de abajo restan. Hay que partir en las raíces.
Dos curvas que se cruzan adentro del intervalo
Mismo problema: si se cortan en el medio, a cada lado manda una distinta.
Integrar f − g de a hasta b de una sola vez puede dar hasta 0 con una región que tiene área de sobra.
Regiones de tres bordes
Cuando la región está limitada por tres curvas (dos gráficos y el eje, o tres gráficos), tiene un vértice donde cambia el techo o cambia el piso. Ahí se parte. Por ejemplo, entre y = √x, y = 12 − x y el eje x: el piso es siempre el eje, pero el techo es √x hasta x = 9, donde se cruza con la recta, y 12 − x después, hasta x = 12. La receta es hallar todos los cortes entre pares de bordes y mirar en el dibujo cuáles son vértices de la región.
A veces conviene cortar en tiras horizontales: si los bordes se escriben fácil como x en función de y, se integra la de la derecha menos la de la izquierda en dy. Es también un buen control, porque es otro camino hacia el mismo número.
Plantear sin calcular
Muchos ejercicios piden sólo expresar el área con integrales, a partir de un dibujo. Es el mismo método sin el último paso: identificar cada borde, los valores de x donde empieza y termina cada tramo, y quién está arriba en cada uno. Un planteo bien hecho es la mitad del ejercicio, y es donde se pierden la mayoría de los puntos.
El área como dato
Si te dicen cuánto mide una región, eso es un dato sobre una integral. Si la región entre g y el eje está arriba del eje en [a ; b] y mide A, entonces ∫ab g = A; si está abajo, ∫ab g = −A. Y si la región está entre g y otra curva conocida, se despeja: ∫(g − h) = A → ∫g = A + ∫h. Así se calculan integrales de funciones que no se conocen.
El control que conviene hacer siempre
El signo: un área nunca es negativa; si te dio negativa, invertiste arriba y abajo, y conviene entender en qué tramo. El tamaño: encerrá la región en un rectángulo y su área tiene que ser menor. Y si podés, calculala por el otro camino (en y, o partiendo distinto): tiene que dar lo mismo.
Calcular el área de la región encerrada entre los gráficos de f(x) = 5 − x^2 y g(x) = x^2 − 3.
Planteo: no dan intervalo, así que los extremos son los cortes. Una parábola abre hacia abajo y la otra hacia arriba: la región es una lente cerrada entre las dos.
Los cortes:
Quién va arriba: en x = 0, f(0) = 5 y g(0) = −3. Arriba va f, en todo el tramo (entre dos cortes consecutivos no pueden cambiar de lugar).
La integral:
Fijate que g es negativa en buena parte del tramo y no hubo que hacer nada especial: la resta de alturas ya lo tiene en cuenta.
Control de tamaño: la región entra en el rectángulo de base 4 (de −2 a 2) y altura 8 (de −3 a 5), que mide 32. 21,33 < 32 ✔. Y por simetría, la mitad derecha tiene que medir 32/3: ∫02 (8 − 2x²) dx = 16 − 16/3 = 32/3 ✔
Dónde se pierde el punto: restar sin paréntesis — (5 − x²) − x² − 3 da 2 − 2x² y está mal — y creer que como g es negativa hay que partir en sus raíces. No: se parte en los cortes entre las dos.
Calcular el área de la región del primer cuadrante limitada por las rectas y = x e y = x/4 y la curva y = 1/x.
Planteo: tres bordes. Hay que encontrar los tres vértices y ver dónde cambia el techo o el piso.
Los cortes, de a pares:
x = 1/x → x = 1: el vértice (1, 1)
x/4 = 1/x → x² = 4 → x = 2: el vértice (2, 1/2)
Quién limita: el piso es siempre y = x/4. El techo es y = x hasta x = 1, y la curva 1/x de 1 a 2. Se parte en x = 1:
∫12 (1/x − x/4) dx = [ln x − x²/8] entre 1 y 2 = ln 2 − 1/2 + 1/8 = ln 2 − 3/8
Control por el otro camino (tiras horizontales): en y, el borde izquierdo es x = y (la recta y = x) y el derecho es x = 4y hasta y = 1/2 y x = 1/y de 1/2 a 1. ∫01/2 (4y − y) dy + ∫1/21 (1/y − y) dy = 3/8 + ln 2 − 3/8 = ln 2 ✔
Dónde se pierde el punto: integrar x − x/4 de 0 a 2 (se pasa la región por arriba de la curva) o 1/x − x/4 de 0 a 2 (1/x no es integrable en 0). El dibujo evita las dos.
Dónde se cae la mayoría
- Integrar sin buscar los cortes de adentro del intervalo, y dar el balance en lugar del área.
- Decidir quién va arriba «a ojo» sin probar un valor, y restar al revés en un tramo.
- En una región de tres bordes, integrar la diferencia de dos curvas en todo el intervalo sin partir donde cambia el techo o el piso.
- Corregir un área negativa cambiándole el signo al final, sin revisar en qué tramo se invirtió la resta.
- Con el área como dato, olvidarse de que una región debajo del eje corresponde a una integral negativa.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Áreas de regiones →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Un área que no es la integral, y una ecuación diferencial20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 7
Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales