Matemática (61) · Unidad 7 — Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales
Integral definida y regla de Barrow
La integral definida es el límite de sumar rectángulos cada vez más finos, y Barrow dice que ese límite se consigue con una resta: la primitiva en el extremo de arriba menos la primitiva en el de abajo. Es un número, y puede ser negativo.
La explicación
De dónde sale: rectángulos que se afinan
Para medir lo que hay entre una curva y el eje x en [a ; b], se parte el intervalo en n pedacitos y se pone un rectángulo sobre cada uno, con la altura de la función en ese pedacito. La suma de esos rectángulos (una suma de Riemann) no da exacto: se pasa un poco o le falta un poco. Pero cuanto más finos, menos se equivoca, y en el límite el error desaparece:
Ese límite es un número, no una familia de funciones como la integral indefinida.
La regla de Barrow
Cualquiera: con F + C queda (F(b) + C) − (F(a) + C) y la C se cancela. Por eso en una integral definida no se escribe C.
2. Evaluá primero en el extremo de arriba, después en el de abajo.
3. Restá en ese orden, con paréntesis: si F(a) es negativa, restarla suma.
Las propiedades que se usan
∫ab k dx = k·(b − a)
∫ab f = ∫ac f + ∫cb f · ∫ba f = −∫ab f
Con ellas se resuelven ejercicios sin conocer f: si te dicen cuánto vale ∫f en un intervalo, sabés cuánto vale ∫(3f − 2) en el mismo. El término que más se olvida es el de la constante: ∫ab 2 dx no es 2, es 2·(b − a).
Barrow con sustitución y con partes
Con sustitución hay dos caminos, y no se mezclan: o se cambian los extremos a u (si u = x² + 1 y x va de 0 a 2, u va de 1 a 5) y se evalúa en u, o se vuelve a x y se usan los extremos de x. Evaluar la primitiva en u con los extremos de x da otro número sin ningún aviso.
Con partes, el término u·v también se evalúa entre los extremos:
Una integral no es un área
Donde f está debajo del eje, los rectángulos tienen altura negativa y restan. Por eso la integral del coseno entre 0 y π vale sen(π) − sen(0) = 0: el pedazo de arriba (entre 0 y π/2) y el de abajo (entre π/2 y π) miden lo mismo y se cancelan. La región no tiene área cero: mide 2. La integral es un balance; el área es lo que hay, sin signo. El tema que sigue se ocupa de las áreas.
Cuando la integral es el dato: hallar el parámetro
Si te piden a para que una integral valga un número, el parámetro se arrastra como si fuera un número, Barrow deja una expresión en a y se iguala. Si a está en el integrando, la ecuación suele ser lineal; si está en un extremo, puede ser cuadrática o tener un logaritmo, y hay que revisar cada solución: que respete el dominio de la función y lo que pida el enunciado (a > 0, a > 1). A veces las dos soluciones sirven, y está bien decirlo.
El control que conviene hacer siempre
Mirá el signo y el tamaño antes de la cuenta. Si f es positiva en todo el intervalo, la integral tiene que dar positiva. Y si f está entre m y M en [a ; b], la integral está entre m·(b − a) y M·(b − a). Si te da afuera, hay un error, casi siempre en el orden de la resta.
Calcular la integral definida de x^3 + 2x entre −1 y 2.
Planteo: integral inmediata; lo delicado es la resta con un extremo negativo.
Una primitiva, sin C:
Los dos valores, primero el de arriba:
Ojo con F(−1): (−1)⁴ = 1 y (−1)² = 1, los dos positivos, porque los exponentes son pares.
¿Es un área? No del todo. Entre −1 y 0 la función es negativa (x³ + 2x = x(x² + 2) tiene el signo de x), y ese pedazo resta. El área entre la curva y el eje sería ∫02 − ∫−10 = 8 − (−5/4) = 37/4, más grande.
Control de tamaño: en [0 ; 2] la función va de 0 a 12, y en [−1 ; 0] de −3 a 0. Un resultado positivo y menor que 12·2 = 24 es razonable ✔. Una suma de Riemann con 3 rectángulos de ancho 1 en los puntos medios da f(−0,5) + f(0,5) + f(1,5) = −1,125 + 1,125 + 6,375 = 6,375, cerca de 6,75.
Dónde se pierde el punto: calcular F(−1) = −1/4 + 1 poniéndole signo al exponente par, y restar 5/4 sin paréntesis cuando hay más de un término.
Hallar a > 1 tal que la integral definida de ln(x)/x entre 1 y a valga 2.
Planteo: el parámetro está en el extremo de arriba. Integro normalmente, aplico Barrow y me queda una ecuación en a.
La primitiva sale por sustitución: con u = ln(x), du = dx/x, y
Barrow:
La ecuación:
Cuál sirve: ln a = −2 da a = e−2 ≈ 0,14, que es menor que 1: el enunciado la descarta. (Y tiene sentido: entre 1 y un número menor que 1 la integral va «al revés» y el integrando es negativo ahí; los dos signos se compensan, pero el enunciado pide a > 1.)
Control (reemplazar): (ln e²)²/2 = 2²/2 = 2 ✔.
Dónde se pierde el punto: escribir ln(a²) en vez de (ln a)², que es otra cosa, y olvidarse de la raíz negativa al despejar un cuadrado: acá se descarta, pero hay que verla para descartarla.
Dónde se cae la mayoría
- Restar al revés: F(a) − F(b) en vez de F(b) − F(a), o restar F(a) sin paréntesis cuando es negativa.
- Integrar una constante k en [a ; b] como si diera k, sin multiplicar por b − a.
- Evaluar la primitiva en u con los extremos de x, sin haberlos cambiado.
- Leer una integral que da 0 o negativa como si fuera un área.
- Al hallar un parámetro, quedarse con una sola solución sin revisar la otra, o con una que el dominio prohíbe.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Integral definida y regla de Barrow →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Un área que no es la integral, y una ecuación diferencial20 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 7
Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales