Matemática (61) · Unidad 7 — Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales
Método de sustitución
Si en el integrando hay una función metida adentro de otra y, multiplicando, aparece la derivada de la de adentro, se la llama u y la integral se vuelve una de la tabla. El método entero es reconocer ese par.
La explicación
Cuándo se usa
La sustitución es la regla de la cadena leída al revés. Al derivar f(g(x)) sale f′(g(x))·g′(x): la derivada de afuera evaluada adentro, por la derivada de adentro. Entonces, si en un integrando reconocés esa forma, sabés de dónde vino:
La pregunta que decide todo es «¿qué está adentro de qué, y la derivada de lo de adentro está afuera?». Si lo que falta o sobra es un número, se arregla. Si falta una x, la sustitución así no sale.
El procedimiento
2. Derivá con el dx puesto: du = g′(x) dx.
3. Cambiá todo a u, dx incluido. Si quedó alguna x suelta, o la elección estaba mal o hay que despejar x (ver más abajo).
4. Integrá en u con la tabla.
5. Volvé a x: la respuesta de un ejercicio en x no puede quedar escrita en u.
Las familias que aparecen siempre
derivada sobre función: ∫ g′/g dx = ln|g| + C
potencia de g por g′: ∫ gⁿ·g′ dx = gn+1/(n+1) + C
logaritmo: ∫ (ln x)ⁿ/x dx = (ln x)n+1/(n+1) + C
exponencial: ∫ eg·g′ dx = eg + C
Con kx + b adentro la sustitución es u = kx + b, du = k dx: por eso se divide por k. En g′/g el disfraz es que la derivada está arriba y la función abajo: ∫ 2x/(x² + 3) dx = ln(x² + 3) + C. Y en los de logaritmo, el 1/x que divide es la derivada de ln x: en ∫ 1/(x·ln x) dx se toma u = ln x y queda ∫ du/u = ln|ln x| + C.
El número que sobra o falta
En ∫ x·ex² dx la derivada de x² es 2x y tenés x: la mitad. Los números entran y salen de la integral, así que x dx = (1/2)·2x dx = du/2 y aparece un 1/2 adelante. Lo mismo cuando la derivada es un múltiplo del numerador: si u = x⁴ + 2x² + 5, du = (4x³ + 4x) dx = 4(x³ + x) dx, y ∫ (x³ + x)/(x⁴ + 2x² + 5) dx = (1/4)·ln(x⁴ + 2x² + 5) + C. Lo que no se puede es inventar una x: multiplicar y dividir por x no es legal, porque x no es una constante.
Cuando sobra una x: despejarla
En ∫ x·(x − 1)⁶ dx, con u = x − 1 queda du = dx, pero sobra la x de adelante. No es un problema: de u = x − 1 se despeja x = u + 1 y se reemplaza también esa x.
y se vuelve a x: (x − 1)⁸/8 + (x − 1)⁷/7 + C. Con raíces es igual: ∫ x/√(x − 1) dx se hace con u = x − 1 y x = u + 1, y queda una suma de potencias de u.
Cuando la de adentro es una raíz
Si u = √x, entonces du = dx/(2√x), o sea dx/√x = 2 du. Es lo que hace salir ∫ sen(√x)/√x dx = −2cos(√x) + C: el √x de abajo es, salvo un 2, la derivada de lo que está adentro del seno.
El control que conviene hacer siempre
Derivá tu resultado con la regla de la cadena. Tiene que aparecer la derivada de lo de adentro y cancelarse con el número que ajustaste. Si al derivar te sobra un 2 o te falta un 1/3, el ajuste fue al revés.
Calcular ∫ x^2·(x^3 + 2)^4 dx.
Planteo: hay un paréntesis elevado a la cuarta, y adentro está x³ + 2, cuya derivada es 3x². Afuera hay un x²: es la derivada de adentro salvo el número 3. Patrón de sustitución.
Elijo u y derivo:
Cambio todo: el paréntesis pasa a ser u⁴ y el «x² dx» entero pasa a ser du/3. No quedó ninguna x suelta: la elección fue la correcta.
Vuelvo a x:
Por qué no conviene desarrollar: (x³ + 2)⁴ desarrollado tiene cinco términos, y multiplicado por x² habría que integrar los cinco. Se puede, pero es más largo y se equivoca más. La sustitución lo hace en una línea.
Control (derivar): ((x³ + 2)⁵/15)′ = 5(x³ + 2)⁴·3x²/15 = x²(x³ + 2)⁴ ✔. El 5 y el 3 que devuelve la cadena se comen el 15: por eso estaba.
Dónde se pierde el punto: dividir por 5 y olvidarse del 3 (queda (x³ + 2)⁵/5), o dejar la respuesta como u⁵/15.
Hallar la función g tal que g′(x) = (2x^3 + 3x)/(x^4 + 3x^2 + 1) y g(0) = 2. Calcular g(1).
Planteo: es un cociente de polinomios, y lo primero que hay que mirar es si el de arriba es (un múltiplo de) la derivada del de abajo. Si lo es, sale un logaritmo.
La derivada del denominador:
Es el doble del numerador. Entonces con u = x⁴ + 3x² + 1 queda du = 2(2x³ + 3x) dx, o sea (2x³ + 3x) dx = du/2:
El denominador es siempre positivo (suma de potencias pares más 1), así que el módulo se puede sacar:
La condición: g(0) = (1/2)·ln(1) + C = 0 + C = 2, así que C = 2.
Control: derivando, (1/2)·(4x³ + 6x)/(x⁴ + 3x² + 1) = (2x³ + 3x)/(x⁴ + 3x² + 1) ✔, y g(0) = 0 + 2 = 2 ✔.
Dónde se pierde el punto: ponerse a hacer fracciones simples o a dividir polinomios cuando el numerador ya era la derivada, y tomar ln(1) = 1.
Dónde se cae la mayoría
- Terminar la respuesta en u, sin volver a x.
- Cambiar la función pero no el dx, y perder el factor 1/k.
- Inventar la x que falta multiplicando y dividiendo por x: sólo los números entran y salen de la integral.
- Cuando sobra una x, dejarla escrita en x en vez de despejarla de u.
- Elegir como u la función de afuera y quedarse con una integral peor que la original.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Método de sustitución →Los otros temas de la unidad 7
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