Matemática (61) · Unidad 7 — Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales de variables separables

Una ecuación diferencial no busca un número: busca una función, que aparece junto con su derivada. Las de variables separables se resuelven llevando todo lo de y de un lado y todo lo de x del otro, e integrando los dos lados.

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La explicación

Qué es una ecuación diferencial

Es una ecuación donde la incógnita es una función y = y(x), y en la ecuación aparece su derivada. Por ejemplo, y′ = 2y dice «busco una función cuya derivada sea el doble de ella misma». Resolverla es encontrar todas las funciones que la cumplen.

Que una función es solución se verifica derivando y reemplazando: y = 7e^2x cumple y′ = 2y porque y′ = 14e^2x = 2·(7e^2x). Ese control es tan barato que no hay excusa para no hacerlo.

La familia y la que cumple el dato

Como en las primitivas, aparece una constante: la solución general es una familia de funciones. Una condición inicial y(x₀) = y₀ elige una sola, la solución particular. En el dibujo, cada rayita tiene la pendiente que manda la ecuación en ese punto, y cada curva que las sigue es una solución: la condición inicial dice por qué punto tiene que pasar.

Variables separables

Son las que se pueden escribir como y′ = g(x)·h(y): la derivada es un producto de algo que depende sólo de x por algo que depende sólo de y.

1. Escribí y′ como dy/dx.
2. Separá: lo de y con dy de un lado, lo de x con dx del otro: dy/h(y) = g(x) dx.
3. Integrá los dos lados. Una sola constante alcanza, del lado de la x.
4. Despejá y.
5. Usá la condición inicial para la constante, y verificá.

Muchas vienen disfrazadas. y′ + 5x·y = 0 es y′ = −5x·y. y·y′ = x² + 1 es y dy = (x² + 1) dx. y′/y = cos(x) ya está separada: ∫dy/y = ∫cos(x) dx. Y el lado de x puede pedir sustitución o partes: los métodos de los temas anteriores se usan acá.

Despejar y: la constante que cambia de nombre

El caso que aparece siempre es ∫dy/y = ln|y|. De ln|y| = G(x) + C sale |y| = e^C·e^G(x), o sea y = ±e^C·e^G(x). Ese ±e^C se renombra como una constante K que puede ser cualquier real:

y = K·e^G(x)

Lo que no vale es escribir y = e^G(x) + C: la constante que venía sumando en el exponente sale multiplicando.

Si el lado de y da y²/2, el despeje tiene una raíz con dos signos, y la condición inicial elige cuál: si y(0) = −3, es la raíz negativa.

Las soluciones que se pierden al dividir

Al separar se divide por h(y), y eso sólo vale donde h(y) ≠ 0. Si h(c) = 0, la función constante y = c también es solución (su derivada es 0 y el lado derecho también), y el despeje la perdió. En y′ = x·(y − 2), la constante y = 2 es solución. Casi siempre se recupera permitiendo K = 0, pero conviene decirlo. Esas constantes se llaman soluciones de equilibrio.

La más importante: y′ = k·y

y′ = k·y ⟹ y = K·e^kx, con K = y(0)

Dice «la velocidad de cambio es proporcional a lo que hay». Con k < 0, todas las soluciones van a 0 cuando x → +∞, sin importar K: es el decaimiento. Con k > 0 crecen sin límite (las de K > 0 van a +∞, las de K < 0 a −∞), y sólo la de K = 0 se queda quieta. El tema que sigue la usa para la radiactividad y el enfriamiento.

El control que conviene hacer siempre

Dos cosas, las dos: derivá la solución y reemplazala en la ecuación, y evaluala en x₀ para ver que da y₀. Es común que la función cumpla la ecuación con la constante mal despejada, o que cumpla la condición sin cumplir la ecuación.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar la función y = f(x) que cumple y′ = (2x + 1)·y e y(0) = 5. Calcular y(1).

Planteo: la derivada es un producto de algo en x por y: es separable.

1. Separo. Con y′ = dy/dx, paso la y dividiendo y el dx multiplicando:

dy/y = (2x + 1) dx

2. Integro los dos lados, con una sola constante:

ln|y| = x² + x + C

3. Despejo: aplico exponencial y renombro la constante.

|y| = e^C·e^{x² + x} → y = K·e^{x² + x}

4. La condición: y(0) = K·e⁰ = K = 5.

y = 5·e^{x² + x} · y(1) = 5e² ≈ 36,95

Control doble: y′ = 5e^x²+x·(2x + 1) = (2x + 1)·y ✔, y y(0) = 5 ✔.

La que se perdió: al dividir por y se dejó afuera y = 0, que también cumple la ecuación (0 = (2x + 1)·0). No es la pedida porque no vale 5 en 0, pero existe: es la de K = 0.

Dónde se pierde el punto: escribir y = e^{x² + x} + 5 (la constante sumando), que no cumple la ecuación: derivala y fijate.

Y uno del nivel del parcial

Hallar todas las funciones y(x) que cumplen y′ + 3y = 0 y estudiar su comportamiento cuando x → +∞. ¿Cuál cumple y(0) = 4?

Planteo: y′ + 3y = 0 es y′ = −3y, la de «proporcional a lo que hay» con k = −3.

Separo e integro (para y ≠ 0):

dy/y = −3 dx → ln|y| = −3x + C → y = K·e^−3x

y = 0, que se había dejado afuera al dividir, es la de K = 0. Entonces todas las soluciones son y = K·e^−3x, con K ∈ ℝ.

Comportamiento en +∞: e^−3x → 0, así que para cualquier K,

lím_x→+∞ K·e^−3x = 0

Todas se acercan a 0: las de K > 0 bajando desde arriba, las de K < 0 subiendo desde abajo, y la de K = 0 ya está ahí. y = 0 es la solución de equilibrio, y es estable: todo lo que empieza cerca, se acerca.

La particular: y(0) = K = 4, así que y = 4e^−3x.

Control: y′ = −12e^−3x, y y′ + 3y = −12e^−3x + 12e^−3x = 0 ✔.

Dónde se pierde el punto: escribir y = e^3x (el signo de k cambiado al pasar 3y del otro lado), que va a infinito en vez de a 0.

Dónde se cae la mayoría

Escribir y = e^(G(x)) + C: la constante del exponente sale multiplicando, no sumando.
Poner una constante de cada lado y quedarse con dos: alcanza con una sola.
Usar la condición inicial antes de integrar, o antes de despejar y.
Olvidarse de la solución constante que se pierde al dividir por h(y).
Al despejar una raíz, no usar la condición inicial para elegir el signo.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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