Matemática (61) · Unidad 7 — Integrales, áreas y ecuaciones diferenciales
Modelos con ecuaciones diferenciales: decaimiento y enfriamiento
Dos leyes con la misma idea: lo que cambia es proporcional a lo que hay (los átomos que quedan) o a lo que falta (la diferencia con el ambiente). Las dos se resuelven separando variables y dan una exponencial que se acerca a un equilibrio.
La explicación
Decaimiento radiactivo: N′ = −d·N
En una muestra radiactiva, en cada intervalo de tiempo se desintegra una fracción fija de los átomos que hay. Entonces la velocidad a la que baja N(t) es proporcional a N(t):
El menos dice que N baja. Es la ecuación y′ = k·y del tema anterior con k = −d, así que separando (dN/N = −d dt) e integrando:
Las unidades de d son «por unidad de tiempo»: si t va en años, d va en 1/año, y d·t no tiene unidades, como tiene que pasar en un exponente.
La semivida, y por qué no depende de cuánto hay
La semivida T es el tiempo que tarda en quedar la mitad. Se plantea N(T) = N₀/2:
N₀ se canceló en el segundo paso: la semivida es la misma con un gramo que con una tonelada. Es la marca de las exponenciales: tardan siempre lo mismo en reducirse a la mitad, arranquen donde arranquen. Por eso después de n semividas queda (1/2)ⁿ de lo que había, y el modelo también se escribe N(t) = N₀·(1/2)t/T.
Si te dan dos mediciones (N₀ en t = 0 y N₁ en t₁): N₀·e−d·t₁ = N₁ → d = ln(N₀/N₁)/t₁.
Si te preguntan cuándo queda N: t = ln(N₀/N)/d.
Con k > 0 la misma ecuación es crecimiento (una población con recursos de sobra), y el tiempo de duplicación es ln(2)/k.
Ley de enfriamiento: C′ = −λ·(C − a)
Un cuerpo a temperatura C(t) en un ambiente a temperatura a constante cambia su temperatura a una velocidad proporcional a la diferencia con el ambiente. Mucha diferencia, cambia rápido; poca, despacio.
El truco es mirar la diferencia D = C − a: como a es constante, D′ = C′, y la ecuación queda D′ = −λ·D, otra vez la exponencial. Entonces D = D₀·e−λt, y volviendo a C:
El coeficiente de la exponencial es la diferencia inicial C₀ − a, no C₀. Si el cuerpo está más caliente que el ambiente, es positiva y C baja; si está más frío (una botella que sale de la heladera), es negativa y C sube. La misma fórmula sirve para enfriarse y para calentarse.
El equilibrio y lo que nunca pasa
C = a es la solución constante: si el cuerpo ya está a la temperatura del ambiente, no cambia. Y como e−λt → 0, todas las soluciones van ahí:
Físicamente: el cuerpo termina a la temperatura del ambiente. Pero nunca llega exactamente, porque la exponencial no se anula. Cualquier temperatura entre C₀ y a se alcanza en un único instante; una que esté del otro lado de a, nunca. Es lo que muestra el dibujo: una curva baja desde arriba y otra sube desde abajo, y las dos se pegan a la recta del ambiente sin cruzarla.
Cuándo llega a una temperatura
2. Igualá a la temperatura pedida y pasá restando la a: (C₀ − a)·e−λt = C − a.
3. Dividí y tomá logaritmo: −λt = ln((C − a)/(C₀ − a)).
4. Despejá t, y fijate que salga positivo.
Si λ es la incógnita, se usa una medición intermedia con el mismo despeje.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá el t que te dio en el modelo y fijate que salga la cantidad pedida. Y controlá el sentido: en el decaimiento, más tiempo tiene que dar menos átomos; en el enfriamiento, la temperatura tiene que estar siempre entre C₀ y a.
Una taza de café a 75 °C se deja en una habitación a 25 °C. Su temperatura cumple C′ = −0,4·(C − 25), con t en horas. a) Hallar C(t). b) Calcular el límite de C(t) cuando t → +∞ e interpretarlo. c) ¿Cuándo llega a 35 °C?
a) El modelo. Con la diferencia D = C − 25, la ecuación es D′ = −0,4·D, así que D = D₀·e−0,4t con D₀ = 75 − 25 = 50:
Control: C(0) = 25 + 50 = 75 ✔, y C′ = −20e−0,4t = −0,4·(50e−0,4t) = −0,4·(C − 25) ✔.
b) El límite. e−0,4t → 0, así que
El café termina a la temperatura de la habitación. Se acerca cada vez más despacio (la diferencia se reduce siempre en la misma proporción), y nunca llega exactamente.
c) Cuándo llega a 35 °C. Igualo y paso restando el 25 antes de tomar logaritmo:
Control: C(4,02) = 25 + 50·e−1,609 ≈ 25 + 50·0,2 = 35 ✔. Y es razonable: la diferencia tiene que achicarse de 50 a 10, o sea a la quinta parte; con λ = 0,4, la diferencia se reduce a la mitad cada ln(2)/0,4 ≈ 1,73 horas, y reducirse a un quinto lleva un poco más de dos de esas mitades.
Dónde se pierde el punto: escribir C(t) = 75·e−0,4t (sin el ambiente), que a la larga iría a 0 °C, y tomar ln(35/75) sin restar el 25.
Un isótopo radiactivo tiene una semivida de 30 años. a) Hallar su constante de decaimiento. b) ¿Qué porcentaje de una muestra queda a los 100 años? c) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que quede el 1 %?
a) De T = ln(2)/d:
b) La fracción que queda es N(t)/N₀ = e−d·t, sin necesidad de saber cuánto había:
Queda alrededor del 9,9 %. Control con semividas: 100 años son 3,33 semividas; después de 3 quedaría 1/8 = 12,5 %, y después de 4, 6,25 %. 9,9 % está en el medio ✔.
c) Planteo e−d·t = 1/100:
Control: son unas 6,64 semividas, y (1/2)6,64 ≈ 0,01 ✔. Fijate que en ningún momento hizo falta N₀: todas las preguntas eran sobre fracciones de la muestra, y ésas no dependen de cuánto hay.
Dónde se pierde el punto: pensar que a los 60 años no queda nada «porque se perdió la mitad dos veces»: en dos semividas queda un cuarto. Y el modelo lineal: perder 1/60 de la muestra por año daría que a los 60 años no queda nada, cuando queda el 25 %.
Dónde se cae la mayoría
- Poner C₀ como coeficiente de la exponencial en el enfriamiento, en vez de la diferencia C₀ − a.
- Calcular la semivida como 0,5/d, o creer que depende de la cantidad inicial.
- Tratar el decaimiento como si fuera lineal: perder la misma cantidad cada año en lugar de la misma fracción.
- Al despejar t, olvidarse de restar la temperatura ambiente antes de tomar logaritmo.
- Esperar que el cuerpo llegue exactamente a la temperatura ambiente en algún momento.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Modelos con ecuaciones diferenciales: decaimiento y enfriamiento →Los otros temas de la unidad 7
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