Matemática (61) · Unidad 8 — Sistemas de ecuaciones lineales
Soluciones de un sistema y sistemas escalonados
Una solución de un sistema es un punto de ℝⁿ que cumple todas las ecuaciones a la vez. Si el sistema ya está escalonado se resuelve de abajo hacia arriba, y las incógnitas que no encabezan ninguna ecuación quedan libres: cada valor que les des es otra solución.
La explicación
Puntos de ℝ³ y de ℝⁿ
Un punto de ℝ³ es una terna ordenada de números, como A = (2, −1, 4); uno de ℝ⁴ tiene cuatro coordenadas, y así. El orden importa: (2, −1, 4) y (−1, 2, 4) son puntos distintos. Con los puntos se opera coordenada a coordenada:
A + B = (2, 2, 2)
3A = (6, −3, 12)
A − 2B = (2, −7, 8)
En A − 2B conviene hacer primero 2B = (0, 6, −4) y después restar lugar por lugar. El menos afecta a las tres coordenadas de 2B, no sólo a la primera.
Qué es un sistema lineal y qué es una solución
Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones de primer grado en las incógnitas x1, x2, …, xn: cada incógnita aparece multiplicada por un número y nada más. No hay productos entre incógnitas, ni potencias, ni raíces.
Una solución es un punto (x1, …, xn) que, reemplazado, cumple todas las ecuaciones a la vez. Verificar es reemplazar, y basta que falle una sola ecuación para que el punto no sea solución, aunque cumpla todas las otras.
Cuántas soluciones puede tener
Un sistema lineal tiene ninguna, una o infinitas soluciones. Nunca exactamente dos: si v y w son soluciones distintas, todos los puntos de la recta que pasa por ellas también lo son. En ℝ³ se ve: cada ecuación es un plano, y tres planos se cortan en un punto, en una recta, o no tienen ningún punto en común.
Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son 0. Ése siempre tiene la solución (0, 0, …, 0), así que nunca es incompatible. Y si v es solución de un homogéneo, 2v, −v y cualquier múltiplo de v también lo son.
Sistemas escalonados
Un sistema está escalonado cuando cada ecuación empieza con una incógnita que está más a la derecha que la de la ecuación de arriba. Es una escalera: la última ecuación tiene pocas incógnitas y se despeja enseguida.
2. Subí una ecuación y reemplazá lo que ya sabés. Queda una sola incógnita nueva para despejar.
3. Repetí hasta llegar arriba. Cada vez que pasás un término al otro lado del igual, cambia de signo.
4. Escribí la solución como punto, con las coordenadas en orden: primero x1, después x2…
Variables libres y la solución general
Si hay más incógnitas que escalones, algunas incógnitas no encabezan ninguna ecuación. Ésas son libres: se les pone un nombre (t, o s y t) y las demás se escriben en función de ellas.
Por ejemplo, en x1 + 2x2 − x3 = 4 ; x2 + 3x3 = 1 hay tres incógnitas y dos escalones (encabezan x1 y x2), así que x3 = t es libre:
x1 = 4 − 2(1 − 3t) + t = 2 + 7t
Solución: (2 + 7t, 1 − 3t, t), t ∈ ℝ
Eso es la solución general: cada t da una solución particular (t = 0 da (2, 1, 0), t = 1 da (9, −2, 1)). Se puede escribir también (2, 1, 0) + t·(7, −3, 1), que es una recta de ℝ³: por eso son infinitas.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá la solución en el sistema tal como te lo dieron, ecuación por ecuación. Si hay variables libres, probá con dos valores (t = 0 y t = 1): una expresión mal despejada puede acertar en un valor y fallar en el otro.
Resolver en ℝ³ el sistema escalonado x₁ + 2x₂ − x₃ = −3 ; x₂ + x₃ = 2 ; 2x₃ = 6.
Planteo: ya está escalonado (la primera ecuación empieza en x1, la segunda en x2, la tercera en x3), así que no hay que hacer nada más que despejar de abajo hacia arriba.
Última ecuación:
Segunda, con x3 = 3:
Primera, con los dos valores: despejo x1 pasando los otros términos con el signo cambiado.
x1 = −3 − 2(−1) + 3 = 2
Solución: (2, −1, 3). Es la única: no quedó ninguna incógnita libre, porque hay tres incógnitas y tres escalones.
Control en el sistema original:
−1 + 3 = 2 ✔
2·3 = 6 ✔
Dónde se pierde el punto: en la primera ecuación, al pasar el −x3. Si lo pasás restando queda x1 = −3 + 2 − 3 = −4, y el control lo caza enseguida: −4 − 2 − 3 = −9, no −3.
En ℝ⁴, hallar todas las soluciones del sistema x₁ + 2x₂ − x₃ + x₄ = 5 ; x₃ + 3x₄ = 2. Dar una solución particular y decidir si (1, 1, −1, 1) es solución.
Planteo: está escalonado, con dos escalones: encabezan x1 y x3. Son cuatro incógnitas, así que hay 4 − 2 = 2 libres, que son las que no encabezan: x2 y x4.
Nombres para las libres: x2 = s, x4 = t.
De abajo hacia arriba:
x1 = 5 − 2s + x3 − t
x1 = 5 − 2s + 2 − 3t − t
x1 = 7 − 2s − 4t
Solución general:
Una particular: con s = t = 0 queda (7, 0, 2, 0). Control: 7 + 0 − 2 + 0 = 5 ✔ y 2 + 0 = 2 ✔.
¿(1, 1, −1, 1) es solución? Hay dos caminos, y conviene hacer los dos. Por la general: tendría que ser s = 1 (la segunda coordenada) y t = 1 (la cuarta), y entonces x1 = 7 − 2 − 4 = 1 ✔ y x3 = 2 − 3 = −1 ✔. Reemplazando directo:
−1 + 3 = 2 ✔
Sí, es solución: es la que corresponde a s = t = 1.
Dónde se pierde el punto: tomar como libres a x3 y x4 porque «son las del final». La libre es la que no encabeza ninguna ecuación, esté donde esté: acá x3 encabeza la segunda, y x2 no encabeza ninguna.
Dónde se cae la mayoría
- Verificar una sola ecuación y dar el punto por solución: tiene que cumplir todas, y si falla en una ya no es solución.
- Pasar un término al otro lado del igual sin cambiarle el signo: de x₁ − x₃ = 3 sale x₁ = 3 + x₃, no 3 − x₃.
- Darle un valor cualquiera a una incógnita que no es libre: libres son sólo las que no encabezan ninguna ecuación del escalonado.
- Creer que un sistema puede tener exactamente dos soluciones: si tiene dos, tiene infinitas, porque toda la recta que pasa por ellas también cumple las ecuaciones.
- Escribir la solución con las coordenadas en otro orden: (x₁, x₂, x₃) no es lo mismo que (x₃, x₂, x₁).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Soluciones de un sistema y sistemas escalonados →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Clasificar según k, sin simplificar de más20 puntos · resuelto paso a paso
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