Matemática (61) · Unidad 8 — Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas con condiciones extra y problemas
Una condición extra es una ecuación más: se agrega al sistema y se resuelve todo junto. Un problema con varias cantidades desconocidas se traduce en un sistema, con una incógnita por cantidad y una ecuación por cada recurso que hay que usar. Y al final la solución tiene que tener sentido: nada negativo, y entero si se cuentan unidades.
La explicación
Una condición extra es una ecuación más
«Las soluciones del sistema que además cumplen x3 = 0» son las soluciones del sistema con una ecuación agregada, x3 = 0. En la práctica, se reemplaza x3 por 0 y se resuelve lo que queda.
Lo mismo con «los puntos de la forma α(1, −1, 2) + (2, 0, 1) que son soluciones». Un punto así es X = (2 + α, −α, 1 + 2α): se reemplazan sus tres coordenadas en cada ecuación, y cada ecuación queda en la única incógnita α.
(2 + α) + (−α) + (1 + 2α) = 5
3 + 2α = 5 → α = 1
Pueden pasar tres cosas: que salga un solo α (la recta corta al conjunto de soluciones en un punto), que no salga ninguno (una ecuación queda 0 = c), o que una ecuación se cumpla para todo α (queda 0 = 0: esa ecuación no pone condición, la recta está entera adentro de ese plano).
Agregar una ecuación para que la solución sea única
Si un sistema de tres incógnitas es indeterminado con una libre, sus soluciones son una recta. Para quedarse con un solo punto P de esa recta hay que agregar una ecuación que cumpla dos cosas:
2. Que no sea una combinación de las que ya están. Si lo fuera, no agrega nada y el rango no sube. Se comprueba escalonando las tres: tiene que quedar rango 3.
Por ejemplo, el doble de una de las ecuaciones cumple lo primero, pero no lo segundo.
De un enunciado a un sistema
2. Escribí una ecuación por cada recurso que se tiene que usar entero: «lo que se usa de turba = lo que hay de turba».
3. Resolvé con Gauss.
4. Interpretá: ¿las cantidades son no negativas? ¿Tienen que ser enteras?
Las proporciones se pasan a fracción del total. «3 kg de turba por cada kg de perlita» son 3 de cada 4 kg, o sea 75 % de turba y 25 % de perlita. En una tabla de composición, cada fila (un ingrediente) da una ecuación: se multiplica la cantidad de cada producto por la proporción de ese ingrediente, y se suma.
Cuando la respuesta tiene que ser entera y no negativa
Si se cuentan envases, bolsones o canteros, la solución tiene que ser de números enteros y ≥ 0. Si el sistema es indeterminado, eso deja una lista finita de posibilidades:
2. Pedí que cada coordenada sea ≥ 0: sale un intervalo para el parámetro.
3. Quedate con los valores que dan todo entero, y listalos.
4. «Al menos uno de cada» cambia el ≥ 0 por ≥ 1.
El control que conviene hacer siempre
Volvé al enunciado con los números y rehacé las cuentas en palabras: «360 kg de A tienen 270 kg de turba, 300 kg de B tienen 120; en total 390, que es lo que había ✔». Y cuando los porcentajes de cada producto suman 100 %, hay un control más: el total de producto tiene que ser igual al total de insumos.
Un vivero prepara dos sustratos para macetas. El sustrato A lleva 3 kg de turba por cada kg de perlita; el B, 2 kg de turba por cada 3 kg de perlita. Hay 390 kg de turba y 270 kg de perlita. ¿Cuántos kg de cada sustrato hay que preparar para usar todo?
Incógnitas: a = kg de sustrato A, b = kg de sustrato B.
Las proporciones: A es 3 de turba sobre 3 + 1 = 4 kg: 3/4 = 0,75 de turba y 0,25 de perlita. B es 2 de turba sobre 2 + 3 = 5 kg: 0,4 de turba y 0,6 de perlita.
Una ecuación por recurso:
perlita: 0,25a + 0,6b = 270
Resolver: sumando las dos ecuaciones sale un atajo, a + b = 660, que tiene sentido: todo lo que hay (390 + 270 kg) termina en algún sustrato. Reemplazo a = 660 − b en la primera:
495 − 0,35b = 390
b = 300 → a = 360
Control en palabras: 360 kg de A tienen 270 kg de turba y 90 de perlita; 300 kg de B tienen 120 de turba y 180 de perlita. Turba: 270 + 120 = 390 ✔. Perlita: 90 + 180 = 270 ✔.
Respuesta: 360 kg de sustrato A y 300 kg de sustrato B. Los dos son positivos, así que la producción es posible.
Dónde se pierde el punto: leer «3 por cada 1» como 3 de turba en cada kg de sustrato. Con eso la ecuación dice 3a + … = 390, y sale una cantidad de sustrato imposible.
Una huerta comunitaria arma bolsones de verdura de tres tamaños. El chico lleva 2 kg de papa y 1 kg de cebolla; el mediano, 3 kg de papa y 2 de cebolla; el grande, 5 kg de papa y 2 de cebolla. Hay 40 kg de papa y 20 kg de cebolla, y se quiere usar todo. ¿Qué combinaciones de bolsones se pueden armar? ¿Y si tiene que haber al menos uno de cada tamaño?
Incógnitas: x, y, z = cantidad de bolsones chicos, medianos y grandes. Tienen que ser enteros y ≥ 0.
El sistema:
cebolla: x + 2y + 2z = 20
Escalonar: conviene poner arriba la de cebolla, que empieza con 1. Fpapa − 2Fcebolla da −y + z = 0, o sea z = y. Son dos ecuaciones y tres incógnitas: una libre. Tomo y como parámetro:
x = 20 − 2y − 2z = 20 − 4y
Las condiciones: y ≥ 0, z = y ≥ 0, y x = 20 − 4y ≥ 0, que da y ≤ 5. Así que y es un entero entre 0 y 5: seis posibilidades.
(8, 3, 3) (4, 4, 4) (0, 5, 5)
Control con una: (8, 3, 3) usa 16 + 9 + 15 = 40 kg de papa ✔ y 8 + 6 + 6 = 20 de cebolla ✔.
Al menos uno de cada: ahora y ≥ 1 y x = 20 − 4y ≥ 1, o sea y ≤ 4. Quedan cuatro: (16, 1, 1), (12, 2, 2), (8, 3, 3) y (4, 4, 4).
Dónde se pierde el punto: pedir sólo que y sea ≥ 0 y contar de 0 a 20. La coordenada que más limita es x, y hay que mirarlas todas.
Dónde se cae la mayoría
- Plantear una ecuación por producto en vez de una por recurso: lo que se iguala al stock es lo que se gasta de cada ingrediente.
- Usar «3 por cada 1» como 3/1 en vez de 3/4: la proporción es sobre el total de la mezcla.
- Al buscar los puntos de una recta, reemplazar sólo α·v y olvidarse del punto que se le suma.
- Agregar una ecuación que el punto cumple pero que es combinación de las otras: el rango no sube y siguen siendo infinitas.
- En los problemas enteros, pedir que una sola coordenada sea ≥ 0: tienen que serlo todas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Sistemas con condiciones extra y problemas →Los otros temas de la unidad 8
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