Matemática (61) · Unidad 8 — Sistemas de ecuaciones lineales
Método de Gauss, rango y clasificación
Gauss es escalonar sin cambiar las soluciones: se opera con las filas de la matriz ampliada hasta que quede una escalera. Ahí se leen dos números, el rango de A y el de (A|b), y esos dos números dicen si el sistema tiene una solución, infinitas o ninguna.
La explicación
La matriz ampliada
Para no arrastrar las x por todas las cuentas, un sistema se escribe como una tabla de números: cada fila es una ecuación, cada columna es una incógnita, y la última columna, separada por una raya, son los términos independientes. Eso es la matriz ampliada (A | b); A sola es la matriz de coeficientes.
2x1 − x2 + x3 = 6
x1 + 2x2 − x3 = −1
↓
( 1 1 2 | 3 )
( 2 −1 1 | 6 )
( 1 2 −1 | −1 )
Si a una ecuación le falta una incógnita, en su lugar va un 0: la columna tiene que seguir siendo de la misma incógnita.
Las tres operaciones que no cambian las soluciones
2. Multiplicar una fila por un número distinto de 0.
3. Sumarle a una fila un múltiplo de otra: F2 → F2 − 2F1.
Las tres se pueden deshacer, y por eso el sistema nuevo tiene exactamente las mismas soluciones que el viejo. Multiplicar por 0 no se deshace: borra una ecuación. Y la fila que cambia tiene que estar en la cuenta: F2 → F2 − 2F1 sí; «F2 → F1 − F3» no, porque ahí se pierde lo que decía F2.
Escalonar, en orden
2. Hacé ceros debajo del pivote: a cada fila i le restás (ai1/pivote)·F1.
3. Olvidate de la primera fila y la primera columna y repetí con lo que queda.
4. Cuando quede la escalera, despejá de abajo hacia arriba, como en un escalonado.
El rango
El rango de una matriz es la cantidad de filas no nulas que quedan cuando está escalonada. No depende del camino: con otras operaciones se llega a otra escalera, pero con la misma cantidad de escalones. Una fila que queda toda en 0 era una combinación de las otras: esa ecuación no agregaba información.
Se miran dos rangos: el de A (sin la última columna) y el de (A | b). El de la ampliada es igual o uno más: nunca menos.
Clasificar: los dos rangos deciden
Con n incógnitas:
rg A = rg (A|b) = n → c. determinado
rg A = rg (A|b) < n → c. indeterminado
El primer caso es el de una fila ( 0 0 0 | 5 ): dice 0 = 5, y ningún punto lo cumple. En el tercero hay n − rg A variables libres. Un sistema homogéneo nunca cae en el primer caso: su última columna es de ceros y no puede subir el rango.
El control que conviene hacer siempre
Reemplazá la solución en el sistema original, no en el escalonado. Si te equivocaste en una operación de filas, el escalonado es otro sistema, y la solución lo cumple a él pero no al que te dieron. Si es indeterminado, controlá con dos valores de t.
Resolver por el método de Gauss el sistema x₁ + x₂ + 2x₃ = 3 ; 2x₁ − x₂ + x₃ = 6 ; x₁ + 2x₂ − x₃ = −1, y clasificarlo.
Planteo: se escribe la ampliada y se hacen ceros debajo del 1 de arriba a la izquierda.
Primera columna:
F3 − F1: ( 0 1 −3 | −4 )
Segunda columna: el pivote es el −3. Para anular el 1 de abajo sin fracciones, multiplico F3 por 3 (se puede: es un número distinto de 0) y le sumo F2:
La escalera:
( 0 −3 −3 | 0 )
( 0 0 −12 | −12 )
Clasificación: tres filas no nulas en A y en la ampliada: rg A = rg (A|b) = 3 = cantidad de incógnitas. Es compatible determinado.
De abajo hacia arriba:
−3x2 − 3 = 0 → x2 = −1
x1 = 3 − (−1) − 2 = 2
Control en el original: 2 − 1 + 2 = 3 ✔ ; 4 + 1 + 1 = 6 ✔ ; 2 − 2 − 1 = −1 ✔. La solución es (2, −1, 1).
Dónde se pierde el punto: en F3 − F1, con los términos independientes: −1 − 3 = −4, no −2. Un error ahí no se nota hasta el control, y por eso el control va en el sistema original.
Resolver y clasificar el sistema x₁ + 2x₂ − x₃ = 1 ; 2x₁ + 5x₂ + x₃ = 4 ; x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 3. Decidir después qué pasa si el término independiente de la tercera ecuación es 4 en lugar de 3.
Escalonar:
F3 − F1: ( 0 1 3 | 2 )
F3 − F2: ( 0 0 0 | 0 )
Rangos: quedan dos filas no nulas en A y en la ampliada: rg A = rg (A|b) = 2 < 3. Es compatible indeterminado, con 3 − 2 = 1 variable libre. La fila de ceros dice 0 = 0: la tercera ecuación era la segunda menos la primera, y no agregaba nada.
Solución general, con x3 = t:
x1 = 1 − 2(2 − 3t) + t = −3 + 7t
(−3 + 7t, 2 − 3t, t), t ∈ ℝ
Control con dos valores: t = 0 da (−3, 2, 0): −3 + 4 = 1 ✔, −6 + 10 = 4 ✔, −3 + 6 = 3 ✔. t = 1 da (4, −1, 1): 4 − 2 − 1 = 1 ✔, 8 − 5 + 1 = 4 ✔, 4 − 3 + 2 = 3 ✔.
Con 4 en lugar de 3: los coeficientes son los mismos, así que las operaciones son las mismas; sólo cambia la última columna.
F3 − F2: ( 0 0 0 | 1 )
Esa fila dice 0 = 1. Ahora rg A = 2 y rg (A|b) = 3: el sistema es incompatible. Cambiar un solo número del lado derecho pasó de infinitas soluciones a ninguna.
Dónde se pierde el punto: leer la fila ( 0 0 0 | 0 ) como «no hay solución». La que no tiene solución es ( 0 0 0 | 1 ).
Dónde se cae la mayoría
- Operar sólo con los coeficientes y olvidarse de la columna de los términos independientes: toda operación de fila se hace también sobre ella.
- Contar el rango de A mirando la ampliada entera: para el rango de A se tapa la última columna.
- Ver una fila ( 0 0 0 | 0 ) y decir que el sistema es incompatible: 0 = 0 se cumple siempre, esa ecuación sobraba.
- Multiplicar una fila por 0 para «hacer un cero»: se pierde una ecuación y aparecen soluciones que no son.
- Controlar la solución en el sistema escalonado: si hubo un error al escalonar, el control no lo ve.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Método de Gauss, rango y clasificación →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Clasificar según k, sin simplificar de más20 puntos · resuelto paso a paso
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