Matemática (61) · Unidad 8 — Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas con parámetros
Con un parámetro k adentro se escalona igual que siempre, pero sin dividir nunca por algo que pueda ser 0. Todo se decide en el último escalón: si su coeficiente no se anula hay solución única; si se anula, el término independiente dice si hay infinitas o ninguna.
La explicación
Escalonar con una letra adentro
k es un número que todavía no conocés, y se opera con él como con cualquier número. La única regla nueva es ésta: no se multiplica ni se divide una fila por una expresión que pueda valer 0, como k − 1. Si k resultara ser 1, habrías borrado una ecuación sin darte cuenta.
2. Hacé ceros con múltiplos que sean números, no expresiones con k.
3. Seguí hasta que la k quede toda en el último escalón.
El último escalón decide
En un sistema de tres incógnitas, al final queda una fila ( 0 0 p(k) | q(k) ). Leída como ecuación, dice p(k)·x3 = q(k):
p(k) = 0 y q(k) = 0 → c. indeterminado
p(k) = 0 y q(k) ≠ 0 → incompatible
2. Buscar los k que anulan p(k).
3. Para cada uno de esos k, calcular q(k): decide entre infinitas y ninguna.
4. Dar la respuesta en tres casos que cubran todos los k.
En un sistema de 2×2, a·x1 + b·x2 = e ; c·x1 + d·x2 = f, el último escalón es proporcional a a·d − b·c. Si a·d − b·c ≠ 0 hay solución única; si es 0, las dos rectas son paralelas o la misma, y hay que reemplazar el k y mirar los términos independientes.
Cuando el parámetro está sólo del lado derecho
Si la k aparece sólo en los términos independientes, los coeficientes no cambian y la escalera es siempre la misma. Si en ella queda una fila de coeficientes nulos, el sistema es compatible sólo para el k que hace 0 su término independiente; si no queda ninguna, es determinado para todo k.
Parámetros que salen de una solución conocida
«Se sabe que (2, −1, 1) es solución» es información: se reemplaza el punto en cada ecuación y quedan ecuaciones cuyas incógnitas son los parámetros. Con esos valores, el sistema ya no tiene letras y se resuelve normalmente.
Dos sistemas con una solución en común
Un punto es solución de los dos si cumple todas las ecuaciones de los dos. Entonces se juntan todas en un solo sistema: sus soluciones son las comunes. «Exactamente una en común» quiere decir que el sistema junto es compatible determinado.
El control que conviene hacer siempre
Probá un valor concreto de k en cada caso y clasificá ese sistema sin letras. Por ejemplo, si dijiste «determinado para k ≠ 1 y k ≠ −2», resolvé con k = 0 y verificá que sale una sola solución; y reemplazá k = 1 y k = −2 para ver con tus ojos la fila 0 = 0 o la fila 0 = c.
Clasificar según los valores de k el sistema x₁ + x₂ − x₃ = 1 ; 2x₁ + 3x₂ = 5 ; x₁ + 2x₂ + (k² + k − 1)x₃ = k + 3.
Escalonar: la k ya está en la última fila, así que la dejo ahí.
F3 − F1: ( 0 1 k² + k | k + 2 )
F3 − F2: ( 0 0 k² + k − 2 | k − 1 )
El último escalón: p(k) = k² + k − 2 = (k − 1)(k + 2), que se anula en k = 1 y en k = −2. Y q(k) = k − 1.
Caso por caso:
k = −2: ( 0 0 0 | −3 ) → incompatible
k ≠ 1 y k ≠ −2 → c. determinado
Control con k = 0 (caso determinado): la última fila es −2x3 = −1, x3 = 1/2; después x2 = 3 − 1 = 2 y x1 = 1 − 2 + 1/2 = −1/2. En la tercera ecuación original con k = 0: −1/2 + 4 − 1/2 = 3 = k + 3 ✔. Una sola solución, como se dijo.
Control con k = 1: con x3 = t queda (−2 + 3t, 3 − 2t, t). En la tercera original, x1 + 2x2 + x3 = −2 + 3t + 6 − 4t + t = 4 = k + 3 ✔ para todo t.
Dónde se pierde el punto: ver que p(k) se anula en dos valores y declarar «incompatible» en los dos. En k = 1 también se anula q(k), y ahí hay infinitas soluciones.
Se sabe que (2, −1, 1) es solución del sistema ax₁ + x₂ + bx₃ = 1 ; x₁ + bx₂ + x₃ = 5. Hallar a y b, y después todas las soluciones del sistema.
Reemplazar el punto: cada ecuación da una condición sobre a y b.
2 − b + 1 = 5
De la segunda, b = −2. En la primera: 2a − 1 − 2 = 1, a = 2.
El sistema sin letras:
x1 − 2x2 + x3 = 5
Escalonar: intercambio las filas para tener un 1 arriba y hago F2 − 2F1: ( 0 5 −4 | −9 ). Dos escalones y tres incógnitas: una libre.
Un atajo para no arrastrar fracciones: ya conozco una solución, (2, −1, 1). A cualquier solución se llega desde ésa sumándole una solución del homogéneo (el mismo sistema con ceros a la derecha). Busco una con enteros: 5x2 − 4x3 = 0 con x3 = 5 da x2 = 4, y de x1 − 2x2 + x3 = 0 sale x1 = 3. Entonces:
= (2 + 3s, −1 + 4s, 1 + 5s), s ∈ ℝ
Control con s = 1, que da (5, 3, 6): 10 + 3 − 12 = 1 ✔ y 5 − 6 + 6 = 5 ✔.
Dónde se pierde el punto: contestar sólo a y b. El enunciado pide también todas las soluciones, y una solución conocida no es «la» solución: el sistema tiene dos ecuaciones y tres incógnitas.
Dónde se cae la mayoría
- Dividir una fila por k − 1 (o multiplicarla) sin avisar que k no puede ser 1: justo en ese caso se pierde una ecuación.
- Encontrar los k que anulan el último coeficiente y decir que en todos ellos no hay solución: hay que mirar el término independiente en cada uno.
- Quedarse con una sola raíz de k² = 4: son dos, y cada una puede dar un caso distinto.
- Dar la respuesta sin cubrir todos los k: la clasificación tiene que decir qué pasa para cada valor, incluidos los que no anulan nada.
- En «dos sistemas con una solución común», resolver cada sistema por separado: lo que se resuelve es el sistema con todas las ecuaciones juntas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Sistemas con parámetros →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Clasificar según k, sin simplificar de más20 puntos · resuelto paso a paso
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