Matemática (61) · Unidad 9 — Matrices y determinantes
Matrices: notación, tipos, suma y traspuesta
Una matriz es una tabla de números con nombre y dirección: a_ij vive en la fila i y la columna j, siempre en ese orden. Se suman lugar por lugar, se multiplican por un número lugar por lugar, y la traspuesta da vuelta filas por columnas.
La explicación
Qué es una matriz y cómo se nombran sus lugares
Una matriz A ∈ ℝm×n es una tabla de números con m filas y n columnas. El número que está en la fila i y en la columna j se llama aij: primero la fila, después la columna. En
( 2 5 −3 )
A es de 2×3, a12 = −1 (fila 1, columna 2) y a21 = 2 (fila 2, columna 1). Que a12 y a21 sean distintos es lo normal.
Definir una matriz por su término general
A veces la matriz no se da con sus números sino con una regla: «aij = 2i − j». Para escribirla se recorre fila por fila y se reemplazan i y j:
fila 1: 2−1, 2−2, 2−3 → 1, 0, −1
fila 2: 4−1, 4−2, 4−3 → 3, 2, 1
La regla puede venir por casos: «aij = 0 si i > j, y aij = j si i ≤ j». Para cada lugar, primero se decide qué caso le toca comparando i con j.
Los tipos que hay que reconocer
Nula: todos los lugares valen 0.
Identidad In: unos en la diagonal y ceros en el resto.
Diagonal: aij = 0 si i ≠ j (sólo puede haber algo en la diagonal).
Triangular superior: aij = 0 si i > j (ceros debajo de la diagonal).
Triangular inferior: aij = 0 si i < j (ceros arriba).
Las condiciones no piden que lo demás sea distinto de 0: una diagonal es a la vez triangular superior e inferior, y la identidad es las tres cosas.
Igualdad
Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y coinciden lugar por lugar. Así, una igualdad de matrices de 2×2 son cuatro ecuaciones. Si dos de esas ecuaciones se contradicen, no hay valores que la cumplan.
Suma, resta y múltiplo
Sólo se suman matrices del mismo tamaño, y se suma lugar por lugar: (A + B)ij = aij + bij. Multiplicar por un número k es multiplicar cada lugar: (kA)ij = k·aij. Con eso se despeja como con números: de X + A = C sale X = C − A, y de 3X + A = C sale X = (C − A)/3.
La traspuesta
At se arma escribiendo las filas de A como columnas: (At)ij = aji. Si A es de m×n, At es de n×m.
(kA)t = k·At , (At)t = A
Una matriz es simétrica si At = A, o sea aij = aji para todo i, j. Para cualquier C cuadrada, C + Ct es simétrica: su lugar (i, j) es cij + cji, y el (j, i) es lo mismo sumado al revés.
El control que conviene hacer siempre
Antes de operar, escribí los tamaños: si no coinciden, la suma no existe y no hay nada que calcular. Y en una traspuesta, fijate que la primera fila de A haya quedado como primera columna de At.
Escribir la matriz A ∈ ℝ³ˣ³ definida por a_ij = i + j si i ≥ j y a_ij = 0 si i < j. Calcular Aᵗ y A + Aᵗ, y decidir de qué tipo es cada una.
Planteo: para cada lugar primero comparo i con j. Si i ≥ j (en la diagonal o debajo) va i + j; si i < j (arriba de la diagonal) va 0.
Fila por fila:
fila 2: 2+1, 2+2, 0 → 3, 4, 0
fila 3: 3+1, 3+2, 3+3 → 4, 5, 6
A es triangular inferior: los ceros quedaron arriba de la diagonal.
La traspuesta: las filas de A pasan a ser columnas.
( 0 4 5 )
( 0 0 6 )
Es triangular superior: trasponer lleva lo de abajo de la diagonal arriba, y la diagonal queda quieta.
La suma, lugar por lugar:
( 3 8 5 )
( 4 5 12 )
Es simétrica: el lugar (1, 2) y el (2, 1) valen 3, el (1, 3) y el (3, 1) valen 4, el (2, 3) y el (3, 2) valen 5. La diagonal quedó duplicada, porque ahí se suma cada número consigo mismo.
Control: la primera fila de A, (2, 0, 0), es la primera columna de At ✔. Y a32 = 3 + 2 = 5 aparece en At en el lugar (2, 3) ✔.
Dónde se pierde el punto: poner los ceros donde i > j por leer la condición al revés. Con eso sale una triangular superior en vez de inferior, y todo lo demás se corre.
Sean A la matriz de filas (x, 3) y (−1, y), y B la de filas (2, z) y (w, 1). Hallar x, y, z, w tales que 2A − B sea la matriz de filas (4, 1) y (0, 5). Decidir después si existe algún valor de x e y para el que A + Aᵗ sea la matriz de filas (6, 4) y (4, 2).
2A − B lugar por lugar:
( −2 − w 2y − 1 )
Cuatro ecuaciones, una por lugar:
6 − z = 1 → z = 5
−2 − w = 0 → w = −2
2y − 1 = 5 → y = 3
Control: con esos valores, 2A = filas (6, 6) y (−2, 6), y restando B = filas (2, 5) y (−2, 1) queda filas (4, 1) y (0, 5) ✔.
La segunda pregunta: A + At tiene en el lugar (1, 2) a a12 + a21 = 3 + (−1) = 2, y eso no depende ni de x ni de y. Se pide que valga 4.
No existe ningún valor: una sola ecuación imposible alcanza para que la igualdad no se pueda cumplir, aunque las de la diagonal (2x = 6, 2y = 2) sí tengan solución.
Dónde se pierde el punto: resolver sólo las ecuaciones que tienen letras y contestar «x = 3, y = 1». Las que no tienen letras también son ecuaciones, y ésa es falsa.
Dónde se cae la mayoría
- Leer a_ij al revés, columna primero: a₂₃ está en la fila 2 y la columna 3.
- Sumar matrices de distinto tamaño, o sumar una matriz con la traspuesta de otra que no tiene su forma.
- Creer que una matriz diagonal no es triangular: cumple las dos condiciones de triangular a la vez.
- Trasponer y dejar el tamaño igual: si A es de 2×3, Aᵗ es de 3×2.
- En una igualdad de matrices, mirar sólo algunos lugares: cada lugar es una ecuación, y todas tienen que cumplirse.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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