Matemática (61) · Unidad 9 — Matrices y determinantes
Matrices como modelo: tablas y grafos
Una tabla de datos es una matriz, y el producto hace las cuentas que uno haría a mano: multiplicar por una columna de unos suma cada fila, por una columna de precios da lo recaudado. Y en un mapa de vuelos, la matriz M dice qué ciudades están unidas; M² cuenta los viajes con una escala.
La explicación
Una tabla es una matriz
Si una tabla dice cuántos frascos de cada producto se vendieron en cada feria, las filas pueden ser las ferias y las columnas los productos: el lugar (i, j) es lo vendido del producto j en la feria i. Lo primero es decidir qué es fila y qué es columna, y escribirlo, porque de eso depende qué producto tiene sentido.
Sumar filas o columnas con un producto
2. (fila de unos)·A suma cada columna: da los totales por producto.
3. (fila de unos)·A·(columna de unos) suma todo.
4. A·p, con p la columna de precios, da lo recaudado en cada feria: cada fila se multiplica por los precios y se suma.
Los tamaños tienen que encajar: si A es de 3×4, la columna de la derecha es de 4×1 y la fila de la izquierda es de 1×3.
Porcentajes por cantidades
Si en cada grupo de personas se sabe qué porcentaje elige cada opción, se arma la matriz P con una fila por opción y una columna por grupo (los porcentajes como decimales). Multiplicada por la columna n con cuánta gente hay en cada grupo, P·n da cuántos eligen cada opción. Si cada columna de P suma 100 %, el total de P·n es el total de gente: un control gratis.
Grafos: la matriz de un mapa de vuelos
Con n ciudades, la matriz de adyacencia M es de n×n y tiene mij = 1 si hay vuelo directo de la ciudad i a la j, y 0 si no. Un vuelo de ida no implica uno de vuelta, así que M no tiene por qué ser simétrica; y la diagonal es 0 (no hay vuelos de una ciudad a sí misma).
Qué cuenta M²
Cada término mikmkj vale 1 exactamente cuando hay vuelo de i a k y de k a j: es un viaje de i a j con escala en k. Sumando sobre todas las k, (M²)ij cuenta los viajes de i a j con exactamente una escala. Del mismo modo, M³ cuenta los de tres vuelos (dos escalas), y M + M² los que tienen a lo sumo una escala. La diagonal de M² cuenta las idas y vueltas: salir de i y volver en dos vuelos.
El control que conviene hacer siempre
Elegí un lugar de M² y contalo a mano sobre el mapa: poné el dedo en la ciudad i, seguí cada flecha que sale, y fijate desde cuál de esas ciudades sale una flecha a j. Tiene que dar lo mismo que la cuenta fila por columna.
Una cooperativa vende miel, dulce y queso en tres ferias. En la feria 1 vendió 20 frascos de miel, 15 de dulce y 10 hormas de queso; en la 2, 12, 25 y 8; en la 3, 30, 10 y 5. Cada frasco de miel cuesta 5 mil pesos, el de dulce 4 mil y la horma de queso 9 mil. Usar matrices para calcular lo recaudado en cada feria, las unidades vendidas de cada producto y el total recaudado.
La matriz de ventas: filas = ferias, columnas = productos.
( 12 25 8 )
( 30 10 5 )
p = (5, 4, 9) en columna
Lo recaudado por feria es Q·p (3×3 por 3×1: una columna de 3):
feria 2: 60 + 100 + 72 = 232
feria 3: 150 + 40 + 45 = 235
Las unidades por producto son (1 1 1)·Q, que suma cada columna: (62, 50, 23).
El total recaudado es (1 1 1)·Q·p. Se puede hacer de dos maneras, y conviene hacer las dos porque es el control:
(62, 50, 23)·(5, 4, 9) = 310 + 200 + 207 = 717
Respuesta: 250, 232 y 235 mil pesos por feria; 62 frascos de miel, 50 de dulce y 23 hormas; 717 mil pesos en total ✔.
Dónde se pierde el punto: poner la columna de unos a la derecha para las unidades por producto. Q·(1, 1, 1) suma cada fila, y daría los productos vendidos en cada feria mezclados, que es otra cosa.
Entre Bariloche (1), Neuquén (2), Mendoza (3) y San Juan (4) hay vuelos directos de 1 a 2, de 1 a 3, de 2 a 3, de 2 a 4, de 3 a 1, de 3 a 4 y de 4 a 2. Escribir la matriz M, calcular M² y decidir cuántos viajes con una escala hay de Bariloche a San Juan y cuántos con a lo sumo una escala de Mendoza a Neuquén.
La matriz: fila = origen, columna = destino.
( 0 0 1 1 )
( 1 0 0 1 )
( 0 1 0 0 )
M² = M·M, fila por columna:
( 1 1 0 1 )
( 0 2 1 0 )
( 0 0 1 1 )
De Bariloche a San Juan con una escala: (M²)14 = 2. Son 1 → 2 → 4 (escala en Neuquén) y 1 → 3 → 4 (escala en Mendoza).
De Mendoza a Neuquén con a lo sumo una escala: (M + M²)32 = 0 + 2 = 2. No hay directo (m32 = 0), y con una escala hay dos: 3 → 1 → 2 y 3 → 4 → 2.
Control a mano: (M²)11 = 1 dice que hay una ida y vuelta desde Bariloche en dos vuelos: 1 → 3 → 1 ✔ (la otra salida, a Neuquén, no vuelve directo).
Dónde se pierde el punto: armar M con las filas como destino. Todo lo demás sale traspuesto: (M²)14 contaría los viajes de San Juan a Bariloche.
Dónde se cae la mayoría
- Multiplicar por la columna de unos del lado equivocado: a la derecha suma filas, a la izquierda (como fila) suma columnas.
- Sumar los porcentajes en vez de multiplicar cada uno por la cantidad de su grupo.
- Tomar M como simétrica: un vuelo de i a j no dice nada de un vuelo de j a i.
- Leer M² como «el cuadrado de cada lugar»: (M²)_ij cuenta caminos de dos vuelos y se calcula fila por columna.
- Contar en M + M² sólo los viajes con escala: también están los directos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Matrices como modelo: tablas y grafos →Los otros temas de la unidad 9
Matrices y determinantes