Matemática (61) · Unidad 9 — Matrices y determinantes
Determinantes, sus propiedades y los sistemas
El determinante es un número que se le calcula a una matriz cuadrada y que decide todo de un saque: si es distinto de 0 la matriz es inversible y el sistema tiene solución única; si es 0, no hay inversa y el sistema es indeterminado o incompatible. Se calcula con ad − bc, con Sarrus o desarrollando por una fila.
La explicación
El de 2×2, y qué mide
Es el número que ya apareció en la fórmula de la inversa. Tiene un significado geométrico: si la matriz se usa para transformar el plano, un cuadrado de área 1 se convierte en un paralelogramo de área |det|. Si el determinante es 0, el cuadrado se aplasta sobre una recta, y lo aplastado no se puede «desaplastar»: por eso no hay inversa.
El de 3×3: Sarrus
Se suman los tres productos de las «diagonales que bajan» y se restan los tres de las «que suben». Con a, b, c; d, e, f; g, h, i por filas:
− ceg − afh − bdi
Sirve sólo para 3×3. Una forma de no perderse: copiá las dos primeras columnas a la derecha de la matriz y seguí las seis diagonales de tres números.
El de 3×3: desarrollo por una fila
Se elige una fila (o una columna), y cada número de ella se multiplica por el determinante de 2×2 que queda al tachar su fila y su columna, con un signo que va alternando según el lugar:
( − + − )
( + − + )
Conviene elegir la fila o columna con más ceros: cada 0 se ahorra una cuenta. En una triangular (o diagonal), el determinante es el producto de la diagonal.
Las propiedades que se usan
2. det(At) = det A.
3. det(k·A) = kn·det A, con n el tamaño: cada una de las n filas queda multiplicada por k.
4. det(A−1) = 1/det A.
5. En general, det(A + B) no es det A + det B.
6. Intercambiar dos filas le cambia el signo; dos filas iguales o proporcionales dan 0.
Determinante, inversa y sistemas
Para A cuadrada: A es inversible si y sólo si det A ≠ 0. Y para un sistema A·x = b de n ecuaciones con n incógnitas:
det A = 0 → indeterminado o incompatible
Cuando el determinante es 0, él solo no dice cuál de los dos casos es: depende de b, y hay que escalonar. Con un parámetro:
2. Para los k con det A ≠ 0: compatible determinado.
3. Para cada k con det A = 0: reemplazalo y escalonalo, con la columna b.
El control que conviene hacer siempre
Calculá el determinante de dos maneras: por Sarrus y desarrollando por la fila o columna con más ceros. Si no coinciden, hay un signo perdido. Y si te dio 0, buscá qué fila es combinación de las otras: tiene que existir.
Calcular el determinante de la matriz A de filas (2, 1, −1), (0, 3, 1) y (1, −2, 4) por Sarrus y desarrollando por la primera columna, y decidir si A es inversible.
Sarrus: las tres diagonales que bajan y las tres que suben.
= 24 + 1 + 0 = 25
− [ (−1)·3·1 + 2·1·(−2) + 1·0·4 ]
= − [ −3 − 4 + 0 ] = +7
det A = 25 + 7 = 32
Por la primera columna, que tiene un 0 (signos + − +):
+ 1·det(1 −1 ; 3 1)
= 2·(12 + 2) + 1·(1 + 3)
= 28 + 4 = 32
Los dos caminos dan 32 ✔. Como es distinto de 0, A es inversible, y cualquier sistema A·x = b tiene solución única.
Dónde se pierde el punto: en Sarrus, al restar las diagonales que suben: la suma de ellas es −7, y restar −7 es sumar 7. Con el signo mal sale 25 − 7 = 18, y el desarrollo por la columna lo desmiente enseguida.
Sean A y B matrices de 3×3 con det A = 3 y det B = −2. Calcular det(A·B), det(2A) y det(Aᵗ·B⁻¹). ¿Se puede calcular det(A + B) con esos datos?
Con las propiedades, sin conocer las matrices:
det(2A) = 2³·3 = 24
det(At·B−1) = 3·(1/(−2)) = −3/2
En det(2A) el 2 aparece al cubo porque 2A tiene las tres filas multiplicadas por 2, y cada fila multiplicada saca un 2 afuera.
¿Y det(A + B)? No: el determinante de una suma no depende sólo de los determinantes. Dos pares con los mismos datos lo muestran. Con A = diagonal (3, 1, 1) y B = diagonal (−2, 1, 1):
Con A = diagonal (3, 1, 1) y B = diagonal (1, −2, 1), que también tiene determinante −2:
Mismos det A y det B, distinto det(A + B). Y ninguno de los dos es det A + det B = 1.
Control de las otras: con el primer par, A·B = diag(−6, 1, 1), det = −6 ✔; 2A = diag(6, 2, 2), det = 24 ✔.
Dónde se pierde el punto: contestar det(2A) = 6. Eso sería si el 2 multiplicara una sola fila.
Dónde se cae la mayoría
- Sumar ad + bc en el de 2×2: es ad menos bc.
- Olvidarse del signo alternado al desarrollar por una fila: el segundo lugar va con −.
- Calcular det(2A) como 2·det A: en una de 3×3 es 2³·det A, porque se multiplican las tres filas.
- Suponer que det(A + B) = det A + det B: casi nunca es cierto.
- Ver det = 0 y contestar «incompatible» sin escalonar: también puede ser indeterminado.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Determinantes, sus propiedades y los sistemas →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Una matriz con parámetro: inversa y determinante20 puntos · resuelto paso a paso
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