Matemática (61) · Unidad 9 — Matrices y determinantes
Producto de matrices y la forma A·x = b
El producto de matrices es fila por columna: el lugar (i, j) de A·B sale de multiplicar la fila i de A por la columna j de B, término a término, y sumar. Sólo existe si las columnas de A son tantas como las filas de B, y en general A·B no es B·A.
La explicación
Fila por columna
El lugar (i, j) de A·B se calcula con la fila i de A y la columna j de B: se multiplican los números en orden (el primero con el primero, el segundo con el segundo…) y se suman.
El caso más chico es una fila por una columna, que da un número:
= 2·4 + (−1)·1 + 3·(−2) = 1
Cuándo existe y qué tamaño tiene
Los números de adentro tienen que coincidir (cada fila de A tiene que tener tantos números como cada columna de B), y los de afuera dan el tamaño del resultado. Por eso una fila de 1×3 por una columna de 3×1 da un número (1×1), pero la columna por la fila da una matriz de 3×3: el mismo par de vectores, en el otro orden, da otra cosa.
Un solo lugar, sin hacer todo el producto
Para cij alcanza con la fila i de la primera y la columna j de la segunda. Si C = (2A − B)·A y se pide c32, hace falta la fila 3 de 2A − B (o sea las filas 3 de A y de B) y la columna 2 de A. Todo lo demás puede ser desconocido.
El orden importa
En general A·B ≠ B·A. A veces uno de los dos ni siquiera existe; y aunque existan los dos y sean del mismo tamaño, suelen dar distinto. Para saber cuándo A·B = B·A con una letra adentro, se calculan los dos productos y se igualan lugar por lugar.
Lo que sí vale:
2. A·(B + C) = A·B + A·C, y (kA)·B = k·(A·B).
3. A² = A·A, que sólo existe si A es cuadrada. Ojo: A² no es elevar cada lugar al cuadrado.
Un sistema es un producto
El sistema 2x1 + x2 − x3 = 4 ; x1 − 3x3 = 1 es exactamente A·x = b, con A la matriz de coeficientes (de 2×3), x la columna de incógnitas y b la columna de términos independientes. Hacer A·x fila por columna devuelve los primeros miembros.
Eso tiene una consecuencia que se usa mucho: si A·v1 = b y A·v2 = b, por la propiedad distributiva
A·(v1 − v2) = b − b = 0
La resta de dos soluciones resuelve el sistema homogéneo, sean cuales sean las soluciones elegidas.
El control que conviene hacer siempre
Antes de multiplicar, escribí los tamaños y fijate que los de adentro coincidan. Después, recalculá un lugar cualquiera tapando todo lo demás con la mano: sólo tiene que quedar a la vista la fila i de la izquierda y la columna j de la derecha.
Sean A la matriz de filas (2, −1, 0) y (1, 3, 2), y B la matriz de 3×2 de filas (1, 4), (0, −2) y (3, 1). Calcular A·B y decidir si B·A existe y de qué tamaño es.
Tamaños: (2×3)·(3×2): los de adentro coinciden, así que A·B existe y es de 2×2.
Lugar por lugar:
c12 = 2·4 + (−1)(−2) + 0·1 = 10
c21 = 1·1 + 3·0 + 2·3 = 7
c22 = 1·4 + 3(−2) + 2·1 = 0
Resultado: A·B = filas (2, 10) y (7, 0).
¿Y B·A? (3×2)·(2×3): los de adentro coinciden (2 y 2), así que existe, pero es de 3×3. Ni siquiera tiene el tamaño de A·B, así que A·B ≠ B·A sin hacer una cuenta más. Su primer lugar, por ejemplo, es 1·2 + 4·1 = 6.
Control: recalculo c22 mirando sólo la fila 2 de A, (1, 3, 2), y la columna 2 de B, (4, −2, 1): 4 − 6 + 2 = 0 ✔.
Dónde se pierde el punto: en c12, el producto (−1)·(−2) es +2. Con el signo mal sale 6 en vez de 10.
Sean A la matriz de filas (1, 2) y (x, 1), y B la de filas (1, 1) y (2, 1). Hallar todos los x para los que A·B = B·A.
Los dos productos, con la x adentro:
( x+2 x+1 )
B·A = ( 1+x 3 )
( 2+x 5 )
Igualar lugar por lugar:
(1, 2): 3 = 3 (siempre)
(2, 1): x + 2 = 2 + x (siempre)
(2, 2): x + 1 = 5 → x = 4
Las cuatro ecuaciones se cumplen a la vez sólo con x = 4. Si dos de ellas hubieran dado valores distintos, no habría ningún x.
Control: con x = 4, A = filas (1, 2) y (4, 1). A·B = filas (5, 3) y (6, 5), y B·A = filas (1 + 4, 2 + 1) y (2 + 4, 4 + 1) = filas (5, 3) y (6, 5) ✔.
Dónde se pierde el punto: igualar un solo lugar y dar ese x por respuesta. Hay que controlar que ese valor cumpla los cuatro.
Dónde se cae la mayoría
- Multiplicar lugar por lugar, como en la suma: el producto es fila por columna.
- Creer que A·B y B·A son lo mismo: el orden cambia el resultado, y a veces uno de los dos ni existe.
- Calcular A² elevando al cuadrado cada coeficiente: A² es A·A, fila por columna.
- Multiplicar dos matrices cuyos tamaños no encajan: las columnas de la primera tienen que ser tantas como las filas de la segunda.
- Usar la columna i y la fila j al revés al buscar un solo lugar: c_ij es fila i de la izquierda por columna j de la derecha.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Producto de matrices y la forma A·x = b →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Una matriz con parámetro: inversa y determinante20 puntos · resuelto paso a paso
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