Matemática (61) · Unidad 9 — Matrices y determinantes
Matriz inversa
La inversa de A es la matriz que deshace lo que hace A: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Sólo la pueden tener las cuadradas, y no todas la tienen. Se calcula escalonando [A | I] hasta que a la izquierda quede I, y sirve para resolver A·x = b de un solo golpe: x = A⁻¹·b.
La explicación
Qué es la inversa
Para números, el inverso de 5 es 1/5 porque 5·(1/5) = 1. Con matrices, el papel del 1 lo hace la identidad: la inversa de A es una matriz A−1 tal que
Sólo tiene sentido para matrices cuadradas, y si existe es única. Pero a diferencia de los números, una matriz puede no ser la nula y no tener inversa: la de filas (1, 2) y (2, 4), por ejemplo, no tiene. Una matriz que tiene inversa se llama inversible.
Para qué sirve: despejar en A·x = b
Si A es inversible, se multiplican los dos miembros por A−1 a la izquierda:
→ x = A−1·b
El lado importa: b es una columna y va a la derecha de A−1. Y el sistema tiene solución única, sea cual sea b.
La de 2×2, con la fórmula
Para la matriz de filas (a, b) y (c, d):
A−1 = 1/(ad − bc) · ( d −b )
( −c a )
En palabras: se intercambian a y d, se les cambia el signo a b y a c, y todo se divide por ad − bc. Si ad − bc = 0, no hay inversa.
Por Gauss: [A | I] → [I | A−1]
2. Con operaciones de fila, llevá la parte izquierda a la identidad: primero ceros debajo de la diagonal, después ceros arriba, y al final dividí cada fila por su pivote.
3. Cada operación se hace en la fila entera, las dos mitades.
4. Cuando a la izquierda quede I, a la derecha está A−1.
5. Si a la izquierda aparece una fila de ceros, A no es inversible: ahí se termina.
Cuándo no hay inversa
Si A tiene una fila (o columna) de ceros, dos filas iguales o proporcionales, o una fila que es combinación de otras, al escalonar aparece una fila nula y no hay inversa. En una triangular o diagonal se ve de un vistazo: es inversible si y sólo si ningún número de la diagonal es 0. Para una diagonal, la inversa es la diagonal de los inversos: la de 2, 5 tiene inversa la de 1/2, 1/5.
El control que conviene hacer siempre
Multiplicá A por la inversa que te dio y fijate que salga I. No hace falta el producto entero: con la primera fila de A por las tres columnas de A−1 ya tenés que ver (1, 0, 0), y si ahí no sale, algo se torció.
Calcular la inversa de la matriz A ∈ ℝ³ˣ³ de filas (1, 2, 0), (0, 1, 1) y (1, 2, 1), y verificarla.
Planteo: escribo [A | I] y opero hasta que a la izquierda quede la identidad.
( 0 1 1 | 0 1 0 )
( 1 2 1 | 0 0 1 )
Ceros debajo: la primera columna ya tiene un 0 en la fila 2. F3 − F1:
Quedó triangular con unos en la diagonal: es inversible.
Ceros arriba, de abajo hacia arriba:
F1 − 2F2: ( 1 0 0 | −1 −2 2 )
La inversa es lo que quedó a la derecha:
( 1 1 −1 )
( −1 0 1 )
Control: la fila 1 de A, (1, 2, 0), por las columnas de A−1: −1 + 2 = 1, −2 + 2 = 0, 2 − 2 = 0 ✔. La fila 3, (1, 2, 1): −1 + 2 − 1 = 0, −2 + 2 + 0 = 0, 2 − 2 + 1 = 1 ✔. Sale la identidad.
Dónde se pierde el punto: en F1 − 2F2, restar sólo en la mitad izquierda. La izquierda queda bien (1 0 0) pero la derecha sigue siendo (1 0 0), y eso no es la primera fila de la inversa.
Sea A la matriz de filas (3, 5) y (1, 2). Calcular A⁻¹ con la fórmula, usarla para resolver A·x = b con b la columna de números 4 y 1, y decidir si la matriz de filas (2, −6) y (−1, 3) es inversible.
La fórmula: ad − bc = 3·2 − 5·1 = 1 ≠ 0, así que hay inversa. Intercambio 3 y 2, les cambio el signo al 5 y al 1, y divido por 1:
( −1 3 )
Control: A·A−1: (3·2 + 5·(−1), 3·(−5) + 5·3) = (1, 0) y (1·2 + 2·(−1), 1·(−5) + 2·3) = (0, 1) ✔.
El sistema: x = A−1·b, con b a la derecha.
x2 = −1·4 + 3·1 = −1
Control en el sistema: 3·3 + 5·(−1) = 4 ✔ y 3 + 2·(−1) = 1 ✔.
La otra matriz: ad − bc = 2·3 − (−6)(−1) = 6 − 6 = 0. No es inversible. Se ve también sin cuentas: la primera fila es −2 veces la segunda, y al escalonar queda una fila de ceros.
Dónde se pierde el punto: en la fórmula, cambiarles el signo a 3 y a 2 en vez de a 5 y a 1. El control A·A−1 = I lo detecta en la primera cuenta.
Dónde se cae la mayoría
- En la fórmula de 2×2, cambiarles el signo a a y d en vez de a b y c: a y d se intercambian y quedan con su signo.
- Hacer las operaciones de fila sólo en la mitad izquierda de [A | I]: cada operación va en la fila entera.
- Escribir x = b·A⁻¹: b es una columna y va a la derecha, x = A⁻¹·b.
- Creer que toda matriz que no es la nula tiene inversa: con dos filas proporcionales no hay.
- Olvidarse de dividir por ad − bc: sin eso, A·A⁻¹ da (ad − bc)·I y no I.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Matriz inversa →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Una matriz con parámetro: inversa y determinante20 puntos · resuelto paso a paso
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