Matemática (61) · Unidad 10 — Geometría
Vectores y rectas en el plano
Un punto del plano es también una flecha que sale del origen, y con flechas se suma, se resta y se multiplica por números. Una recta es un punto de partida más todos los múltiplos de una dirección; su ecuación implícita dice lo mismo desde el otro lado: qué vector le es perpendicular.
La explicación
Puntos que se suman: los vectores de ℝ²
Un par (a, b) se puede leer de dos maneras: como un punto del plano o como la flecha que va del origen hasta ese punto. Con la segunda lectura tiene sentido operar, y las cuentas se hacen coordenada por coordenada:
(3, −2) − (−1, 4) = (4, −6)
3·(3, −2) = (9, −6)
Sumar es poner una flecha a continuación de la otra (la regla del paralelogramo). Multiplicar por un número k estira la flecha si |k| > 1, la achica si |k| < 1 y la da vuelta si k < 0. La resta Q − P es la flecha que va de P a Q: ésa es la cuenta que más se usa en toda la unidad.
Combinar dos vectores: un sistema de 2×2
Preguntar si un punto R se escribe como a·P + b·Q es plantear un sistema: una ecuación por coordenada, con incógnitas a y b. Si P = (p₁, p₂) y Q = (q₁, q₂):
a·p₂ + b·q₂ = r₂
El sistema tiene solución única para cualquier R exactamente cuando el determinante p₁q₂ − p₂q₁ es distinto de cero. Si da cero, P y Q son múltiplos uno del otro (apuntan sobre la misma recta por el origen) y las combinaciones sólo recorren esa recta: los puntos de afuera no se alcanzan con ningún a y b.
La recta en dos idiomas
Paramétrica: un punto de paso P y un vector dirección v ≠ 0.
Cada valor de α da un punto de la recta. Por dos puntos A y B, la dirección es B − A (o cualquier múltiplo no nulo), y el punto de paso cualquiera de los dos. Por eso la paramétrica no es única: cambia si elegís otra dirección paralela o arrancás desde otro punto.
Implícita: ax + by = c. El vector (a, b) es perpendicular a la recta: se llama normal. Pasar de una a otra es girar el vector:
De implícita a paramétrica. Si la normal es (a, b), una dirección es (−b, a). El punto de paso sale de darle un valor a x (o a y) y despejar la otra.
Pertenencia. Con la implícita, se reemplaza y se mira si da c. Con la paramétrica, se busca un α que funcione en las dos coordenadas a la vez.
Las rectas verticales (x = 3, dirección (0, 1)) existen y no son el gráfico de ninguna función. Toda recta no vertical sí lo es, de una lineal f(x) = mx + k con pendiente m = v₂ / v₁, o m = −a/b desde la implícita.
Paralelas, intersección y posición relativa
Dos rectas son paralelas cuando sus direcciones son múltiplos (o, lo mismo, sus normales). Para la paralela a L por un punto nuevo se deja la misma dirección, o la misma normal, y se cambia el punto: en la implícita sólo cambia c.
La intersección es el sistema de las dos ecuaciones. Si una viene en paramétrica, se reemplaza (x, y) en la implícita de la otra y queda una ecuación en α. La compatibilidad del sistema dice la posición:
incompatible → paralelas distintas
indeterminado → coincidentes
Producto escalar y perpendiculares
El producto escalar de u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂) es un número:
Y la propiedad que se usa todo el tiempo: u y v son perpendiculares si y sólo si ⟨u ; v⟩ = 0. La perpendicular a ax + by = c por un punto tiene como dirección la normal (a, b). Si las dos rectas tienen pendiente, el producto de las pendientes da −1: con pendiente 2/5, la perpendicular tiene −5/2.
El producto escalar resuelve también los triángulos rectángulos. Si P, Q y A son los vértices, el ángulo en P es recto cuando ⟨Q − P ; A − P⟩ = 0. Si A se mueve sobre una recta, se escribe A con un parámetro y la condición da una ecuación para él: lineal si el ángulo recto está en un vértice fijo, y cuadrática si está en A, porque A aparece en los dos factores.
El control que conviene hacer siempre
Una implícita se controla reemplazando los dos puntos que te dieron: tienen que dar c los dos. Una perpendicular se controla con ⟨dirección ; dirección⟩ = 0, y una intersección, reemplazando el punto en las dos ecuaciones originales, no en las que armaste vos.
Sea L la recta que pasa por A = (−1, 4) y B = (3, −2). a) Dar un vector dirección, una ecuación paramétrica y una implícita de L. b) Decidir si (5, −5) y (1, 2) pertenecen a L. c) ¿Es L el gráfico de una función lineal? Si lo es, dar su pendiente.
Planteo: la dirección sale de restar los dos puntos, y todo lo demás se arma con esa dirección y uno de los puntos.
a) La dirección:
Cualquier múltiplo sirve; el más cómodo es la mitad, v = (2, −3). La paramétrica, desde A:
Para la implícita giro la dirección: si v = (2, −3), una normal es (3, 2). Entonces L: 3x + 2y = c, y c sale de A:
Control con el otro punto: B da 3·3 + 2·(−2) = 9 − 4 = 5 ✔ Si B no diera 5, la normal estaría mal girada.
b) Pertenencia: con la implícita es reemplazar.
(1, 2): 3 + 4 = 7 ≠ 5 → no está
Con la paramétrica se ve igual: (5, −5) = α(2, −3) + (−1, 4) pide 2α = 6 y −3α = −9, y α = 3 sirve para las dos.
c) ¿Función lineal? La dirección no es vertical (su primera coordenada no es 0), así que sí. La pendiente es lo que sube y por cada unidad que avanza:
Despejar y de 3x + 2y = 5 da lo mismo ✔
Dónde se pierde el punto: escribir 2x − 3y = c usando la dirección como normal. Con esa ecuación A da −14 y B da 12: el control del otro punto lo delata enseguida.
Sean P = (1, 2) y Q = (3, k). a) ¿Para qué valores de k todo punto del plano se puede escribir como a·P + b·Q? b) Para k = −1, hallar a y b tales que a·P + b·Q = (7, 0). c) Para el valor de k que falla en a), ¿qué puntos del plano se alcanzan?
Planteo: a·P + b·Q = (x, y) es un sistema de 2×2 en a y b. Tiene solución para todo (x, y) cuando su determinante no se anula.
a) El determinante: las columnas son P y Q.
2a + kb = y
det = 1·k − 2·3 = k − 6
Si k ≠ 6, el sistema es compatible determinado para cualquier (x, y): todo punto se alcanza, de una sola manera.
b) Con k = −1:
2a − b = 0 → b = 2a
a + 6a = 7 → a = 1, b = 2
Control: 1·(1, 2) + 2·(3, −1) = (1 + 6, 2 − 2) = (7, 0) ✔
c) Con k = 6: Q = (3, 6) = 3·P. Entonces a·P + b·Q = (a + 3b)·P: cualquier combinación es un múltiplo de P. Los puntos que se alcanzan son los de la forma t·(1, 2), o sea la recta y = 2x, que pasa por el origen. Un punto como (1, 0) no se alcanza con ningún a y b: el sistema a + 3b = 1, 2a + 6b = 0 da 2 = 0.
Dónde se pierde el punto: en c), contestar «ningún punto». Sí se alcanzan puntos, los de una recta; lo que se pierde es el resto del plano.
Dónde se cae la mayoría
- Hacer A − B cuando se quiere la flecha de A a B: esa flecha es B − A. Como dirección de una recta da lo mismo, pero en un triángulo cambia todos los signos.
- Tomar el vector (a, b) de ax + by = c como dirección de la recta: es la normal, perpendicular a la recta. La dirección es (−b, a).
- Decidir que un punto está en una recta paramétrica mirando una sola coordenada: el mismo α tiene que servir para x y para y.
- Creer que dos rectas con ecuaciones distintas no pueden ser la misma: 2x − y = 3 y 6x − 3y = 9 son la misma recta escrita dos veces.
- Con la pendiente, invertirla sin cambiarle el signo: la perpendicular a una recta de pendiente 2 tiene pendiente −1/2, no 1/2.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Vectores y rectas en el plano →Los otros temas de la unidad 10
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