Matemática (61) · Unidad 10 — Geometría
Vectores en ℝ³: productos escalar, vectorial y mixto
En el espacio un punto tiene tres coordenadas y todo lo del plano sigue valiendo. Aparece una operación nueva, el producto vectorial, que fabrica un vector perpendicular a otros dos; y con él, el producto mixto, que mide el volumen de la caja que forman tres vectores.
La explicación
Ubicarse en ℝ³
Un punto del espacio es una terna (x, y, z), a veces escrita (x₁, x₂, x₃). Los tres ejes se cortan en el origen y, de a dos, arman los planos coordenados: el plano xy (donde z = 0), el xz (y = 0) y el yz (x = 0). Para ubicar (3, 2, 4) se avanza 3 sobre el eje x, 2 en la dirección de y y se sube 4.
Una caja apoyada en el origen con aristas sobre los ejes de largos a, b y c tiene sus ocho vértices en todas las ternas que se arman con 0 o a en la primera coordenada, 0 o b en la segunda y 0 o c en la tercera: (0, 0, 0), (a, 0, 0), (a, b, 0), (a, b, c) y los demás. El vértice opuesto al origen es (a, b, c).
Las operaciones son las del plano, con una coordenada más: se suma y se multiplica por un número coordenada a coordenada, y Q − P es la flecha de P a Q. La norma (el largo) es
El producto escalar
Da un número, y dice lo mismo que en el plano: ⟨u ; v⟩ = 0 si y sólo si u y v son perpendiculares (ortogonales). Un detalle que en ℝ³ cambia: los vectores perpendiculares a uno dado n = (a, b, c) ya no forman una recta sino un plano, el de ecuación ax + by + cz = 0. Hay infinitas direcciones perpendiculares a n, no una.
El producto vectorial
Para u = (u₁, u₂, u₃) y v = (v₁, v₂, v₃):
u₃v₁ − u₁v₃ ,
u₁v₂ − u₂v₁)
Qué cumple. (1) u × v es perpendicular a u y a v. (2) v × u = −(u × v): el orden importa. (3) u × v = (0, 0, 0) exactamente cuando u y v son colineales (uno múltiplo del otro). (4) ‖u × v‖ es el área del paralelogramo de lados u y v.
La propiedad (1) es la que se usa: todos los vectores perpendiculares a u y a v a la vez son los múltiplos t·(u × v), siempre que u y v no sean colineales. Es una recta de direcciones, y u × v es la cuenta que la da.
Ortogonales, colineales o ninguna
u × v = 0 → colineales
ni una ni otra → ninguna
Salvo el vector nulo, no pueden pasar las dos cosas a la vez: un vector no es perpendicular a un múltiplo suyo.
El producto mixto y el volumen
Con tres vectores u, v y w, el producto mixto es ⟨u × v ; w⟩, y coincide con el determinante de la matriz que tiene a u, v y w como filas:
Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo de aristas u, v y w: el área de la base ‖u × v‖ por la altura, que es cuánto avanza w en la dirección perpendicular a la base. Si el producto mixto da 0, la caja está aplastada: los tres vectores están en un mismo plano (son coplanares).
Cuando te dan cuatro vértices de un paralelepípedo y uno de ellos, V, «forma aristas» con los otros tres A, B y C, las aristas son u = A − V, v = B − V y w = C − V. Los otros cuatro vértices son V + u + v, V + u + w, V + v + w y el opuesto a V, V + u + v + w.
El control que conviene hacer siempre
Después de un producto vectorial, multiplicalo escalarmente por los dos factores: tiene que dar 0 con cada uno. Son dos cuentas de un renglón que agarran el signo de la coordenada del medio, que es el error más común. Y un volumen negativo no existe: si el determinante dio negativo, el volumen es su valor absoluto.
Sean u = (2, −1, 3) y v = (1, 4, −2). a) Calcular ⟨u ; v⟩ y u × v. b) Verificar que u × v es perpendicular a u y a v. c) Decidir si u y v son ortogonales, colineales o ninguna de las dos cosas.
Planteo: el escalar es una suma de tres productos; el vectorial, tres cruzados, uno por coordenada.
a) El producto escalar:
= 2 − 4 − 6 = −8
El producto vectorial, coordenada por coordenada:
2ª: 3·1 − 2·(−2) = 3 + 4 = 7
3ª: 2·4 − (−1)·1 = 8 + 1 = 9
Entonces u × v = (−10, 7, 9). En la segunda coordenada fijate el orden: u₃v₁ − u₁v₃, que es el cruzado de las coordenadas 1 y 3 con el signo cambiado.
b) El control:
⟨u × v ; v⟩ = −10 + 28 − 18 = 0 ✔
Si en la segunda coordenada hubiera quedado −7, el primer control daría −20 + 7 + 27 = 14 y el error aparecería solo.
c) Clasificación: ⟨u ; v⟩ = −8 ≠ 0, así que no son ortogonales. u × v ≠ (0, 0, 0), así que no son colineales. Ninguna de las dos cosas. Se ve también a ojo: para ser colineales, v tendría que ser un múltiplo de u, y 1/2, −4 y −2/3 no son el mismo número.
Dónde se pierde el punto: en la coordenada del medio del vectorial. Los dos controles del ítem b) no son un trámite: son la forma de saber que la cuenta está bien sin rehacerla.
Los puntos V = (1, 0, 2), A = (3, 1, 2), B = (1, 2, 3) y C = (0, 1, 5) son vértices de un paralelepípedo en el que V forma aristas con A, B y C. a) Calcular el volumen. b) Hallar los otros cuatro vértices. c) Dar todos los vectores perpendiculares a las aristas VA y VB a la vez.
Planteo: las aristas son las restas desde V. Con ellas, el volumen es el producto mixto y los vértices que faltan son sumas.
Las aristas:
v = B − V = (0, 2, 1)
w = C − V = (−1, 1, 3)
a) El producto mixto. Primero u × v:
0·0 − 2·1, 2·2 − 1·0)
= (1, −2, 4)
Control: ⟨(1, −2, 4) ; u⟩ = 2 − 2 = 0 ✔ y ⟨(1, −2, 4) ; v⟩ = −4 + 4 = 0 ✔ Ahora con w:
= −1 − 2 + 12 = 9
El volumen es |9| = 9. Por el determinante con u, v, w como filas da lo mismo: 2·(6 − 1) − 1·(0 + 1) + 0 = 9 ✔
b) Los vértices que faltan:
V + u + w = (2, 2, 5)
V + v + w = (0, 3, 6)
V + u + v + w = (2, 4, 6)
El último es el opuesto a V. Control: el punto medio de V y (2, 4, 6) es (3/2, 2, 4), y es también el punto medio de A y V + v + w = (0, 3, 6): las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su centro ✔
c) Perpendiculares a u y a v: son todos los múltiplos de u × v, o sea t·(1, −2, 4) con t ∈ ℝ. No hay otros, porque u y v no son colineales.
Dónde se pierde el punto: usar A, B y C como aristas sin restarles V. Con eso se calcula el volumen de otra caja, la que sale del origen.
Dónde se cae la mayoría
- Equivocar el signo de la coordenada del medio de u × v: es u₃v₁ − u₁v₃, al revés que las otras dos. Se detecta porque el resultado deja de ser perpendicular a u y a v.
- Dar el producto escalar como un vector o el vectorial como un número: ⟨u ; v⟩ es un número y u × v es un vector.
- Creer que v × u = u × v: el orden da vuelta el sentido, v × u = −(u × v).
- Tomar como aristas del paralelepípedo los vértices mismos y no las restas A − V, B − V, C − V.
- Informar un volumen negativo: el volumen es el valor absoluto del producto mixto.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Vectores en ℝ³: productos escalar, vectorial y mixto →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Un plano, su perpendicular y una recta que parece cortarla20 puntos · resuelto paso a paso
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