Matemática (61) · Unidad 10 — Geometría
Rectas en ℝ³ y posiciones relativas
En el espacio una recta se sigue escribiendo como un punto más los múltiplos de una dirección, pero ya no alcanza con una sola ecuación implícita. Y aparece una posición que en el plano no existe: dos rectas que no son paralelas y aun así no se tocan, las alabeadas.
La explicación
La paramétrica, igual que en el plano
P es un punto de paso y v ≠ 0 una dirección, ahora con tres coordenadas. Por dos puntos A y B, la dirección es B − A. Cada λ da un punto: λ = 0 da P, λ = 1 da P + v, λ = −2 da P − 2v. Como en ℝ², la paramétrica no es única: sirve cualquier múltiplo no nulo de v y cualquier punto de la recta.
Lo que no hay en ℝ³ es «la ecuación implícita de una recta». Una ecuación ax + by + cz = d describe un plano; una recta necesita dos ecuaciones a la vez: es la intersección de dos planos. Eso se ve en los temas que vienen; acá alcanza con saber leerla (más abajo).
Pertenencia y el punto con una coordenada dada
El punto de L con x₃ = 0 (o con cualquier coordenada fija): se iguala esa coordenada de λv + P al valor pedido, se despeja λ y se reemplaza en las otras dos.
Mirar una sola coordenada es el error clásico: casi cualquier punto «pasa» la prueba de la primera coordenada, porque siempre hay un λ que la ajusta.
Paralelas y perpendiculares
Dos rectas son paralelas si sus direcciones son múltiplos: v₂ = k·v₁. Son perpendiculares (en ℝ³ también se dice ortogonales) si ⟨v₁ ; v₂⟩ = 0, se toquen o no. Cuando una dirección depende de un parámetro, cada condición es una ecuación: la de paralelas pide que las tres coordenadas sean proporcionales con el mismo factor; la de perpendiculares, un producto escalar igual a 0.
Para una recta perpendicular a dos vectores (o a dos rectas, que es lo mismo con sus direcciones) la dirección es el producto vectorial: v = v₁ × v₂. Si además tiene que estar en el plano xy, su dirección es de la forma (a, b, 0), y la perpendicularidad con la otra recta da una ecuación para a y b.
El pie de la perpendicular
Dado un punto A afuera de L, el punto B de L más cercano a A es el que hace que AB sea perpendicular a L. Se escribe B con el parámetro y se pide el producto escalar 0:
⟨A − B ; v⟩ = 0 → β → B
Es una ecuación lineal en β, con una sola solución. La distancia de A a L es ‖A − B‖.
Las cuatro posiciones de dos rectas
En el plano, dos rectas no paralelas se cortan siempre. En el espacio pueden pasar una por arriba de la otra: ésas son las alabeadas. Para decidir, dos preguntas en orden:
sí → ¿P₂ ∈ L₁?
sí: coincidentes
no: paralelas distintas
no → ¿λv₁ + P₁ = μv₂ + P₂
tiene solución?
sí: se cortan en un punto
no: alabeadas
2. Se resuelven dos de ellas (las más cómodas).
3. Con esos λ y μ se prueba la tercera. Si se cumple, las rectas se cortan, y el punto sale de reemplazar λ en L₁ (o μ en L₂: tiene que dar lo mismo). Si no se cumple, son alabeadas.
Ojo: los dos parámetros tienen que llamarse distinto. Si las dos rectas usan λ y las igualás con la misma letra, estás pidiendo que pasen por el punto de intersección con el mismo valor del parámetro, que es otra pregunta.
Una recta dada por dos ecuaciones
Si te dan L como {a₁x + b₁y + c₁z = d₁ ; a₂x + b₂y + c₂z = d₂}, su dirección es perpendicular a las dos normales, así que es n₁ × n₂. Un punto de paso sale de fijar una variable (por ejemplo x = 0) y resolver las otras dos. Con dirección y punto, ya es una paramétrica y vale todo lo anterior.
El control que conviene hacer siempre
Un punto de intersección se controla en las dos rectas: tiene que salir con un λ en L₁ y con un μ en L₂. Un pie de perpendicular se controla con el producto escalar ⟨A − B ; v⟩ = 0, y una dirección sacada de n₁ × n₂, multiplicándola escalarmente por las dos normales.
Sea L la recta que pasa por A = (2, −1, 4) y B = (4, 0, 2). a) Dar una ecuación paramétrica de L. b) Hallar el punto de L que tiene x₃ = 0. c) Decidir si (8, 2, −2) y (0, −2, 5) pertenecen a L.
Planteo: la dirección es B − A; con ella y A se arma la paramétrica, y todo lo demás es plantear ecuaciones en λ.
a) La paramétrica:
L: X = λ(2, 1, −2) + (2, −1, 4)
Coordenada por coordenada: x₁ = 2 + 2λ, x₂ = −1 + λ, x₃ = 4 − 2λ. Control: λ = 1 da (4, 0, 2), que es B ✔
b) El punto con x₃ = 0:
X = (2 + 4, −1 + 2, 0) = (6, 1, 0)
Es el punto donde L atraviesa el plano xy.
c) Pertenencia. Para (8, 2, −2), la primera coordenada pide 2 + 2λ = 8, o sea λ = 3. Pruebo ese λ en las otras dos:
x₃: 4 − 6 = −2 ✔ → está
Para (0, −2, 5), la primera pide λ = −1. En x₂: −1 − 1 = −2 ✔, pero en x₃: 4 + 2 = 6 ≠ 5. No está: el mismo λ no sirve para las tres coordenadas.
El control: (8, 2, −2) − A = (6, 3, −6) = 3·(2, 1, −2): la flecha de A al punto es un múltiplo de la dirección ✔ En cambio (0, −2, 5) − A = (−2, −1, 1), que no es múltiplo de (2, 1, −2) porque la tercera coordenada no acompaña.
Dónde se pierde el punto: en c), probar sólo las dos primeras coordenadas del segundo punto. Justo esas dos funcionan, y es la tercera la que dice que no.
Sean L₁: X = λ(1, −1, 2) + (0, 2, 1), L₂: X = μ(2, 1, −1) + (3, 2, 0), L₃: X = t(−2, 2, −4) + (1, 1, 3) y L₄ la recta {x + y = 5 ; 2x − z = 0}. Decidir la posición relativa de L₁ con cada una de las otras tres.
Planteo: para cada par, primero se comparan las direcciones y después se busca un punto común.
L₁ y L₂. (2, 1, −1) no es múltiplo de (1, −1, 2) (el factor sería 2 en la primera y −1 en la segunda). Planteo la igualdad con dos parámetros distintos:
2 − λ = 2 + μ
1 + 2λ = −μ
De la segunda, λ = −μ; en la primera, −μ = 3 + 2μ, así que μ = −1 y λ = 1. La tercera: 1 + 2·1 = 3, pero −μ = 1. No se cumple: alabeadas.
L₁ y L₃. (−2, 2, −4) = −2·(1, −1, 2): direcciones paralelas. ¿El punto (1, 1, 3) de L₃ está en L₁? Con λ = 1, L₁ da (1, 1, 3) ✔ Coincidentes: es la misma recta escrita de otra manera.
L₁ y L₄. L₄ viene como dos ecuaciones, así que primero su dirección: n₁ × n₂ con n₁ = (1, 1, 0) y n₂ = (2, 0, −1).
0·2 − 1·(−1), 1·0 − 1·2)
= (−1, 1, −2)
Es −1·(1, −1, 2): paralela a L₁. Un punto de L₄: con x = 0, y = 5 y z = 0, o sea (0, 5, 0). ¿Está en L₁? La primera coordenada pide λ = 0, que da (0, 2, 1) ≠ (0, 5, 0). Paralelas distintas.
Control de L₄: los puntos de L₁ cumplen x + y = λ + 2 − λ = 2 para todo λ, y L₄ vive en x + y = 5. Dos rectas paralelas, cada una en su plano paralelo: no pueden tocarse ✔
Dónde se pierde el punto: con L₁ y L₂, resolver dos ecuaciones, encontrar λ y μ, y declarar «se cortan» sin probar la tercera.
Dónde se cae la mayoría
- Buscar «la ecuación implícita» de una recta en ℝ³: una sola ecuación ax + by + cz = d es un plano. Una recta necesita dos.
- Decidir que dos rectas no paralelas se cortan sin probar la tercera ecuación: en ℝ³ pueden ser alabeadas.
- Usar la misma letra para los dos parámetros al igualar dos rectas: se pide λv₁ + P₁ = μv₂ + P₂, con λ y μ distintos.
- Declarar paralelas dos rectas porque dos coordenadas de las direcciones son proporcionales: tienen que serlo las tres, con el mismo factor.
- Confundir perpendiculares con que se corten: en ℝ³ dos rectas pueden tener direcciones perpendiculares y ser alabeadas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Rectas en ℝ³ y posiciones relativas →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Un plano, su perpendicular y una recta que parece cortarla20 puntos · resuelto paso a paso
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