Matemática (61) · Unidad 10 — Geometría
Intersecciones en ℝ³
Cortar dos planos, o una recta con un plano, es resolver un sistema. Dos planos no paralelos se cortan en una recta cuya dirección es el producto vectorial de las normales; una recta corta a un plano en un punto, salvo que sea paralela a él: entonces no lo toca o está entera adentro.
La explicación
Dos planos
Π₁: a₁x + b₁y + c₁z = d₁ y Π₂: a₂x + b₂y + c₂z = d₂ forman un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Nunca tiene solución única: o no tiene, o tiene infinitas. Lo que decide es la normal.
n₁ ∥ n₂, ecuaciones múltiplos
(con el d) → el mismo plano
n₁ ∥ n₂, d no acompaña →
paralelos, intersección vacía
Si se cortan, la recta tiene que estar en los dos planos, así que su dirección es perpendicular a las dos normales: v = n₁ × n₂. Para el punto de paso se fija una variable (z = 0 suele ser lo más cómodo) y se resuelve el sistema de 2×2 que queda.
Cuándo falla z = 0. Si la recta es paralela al plano xy (su dirección tiene tercera coordenada 0), nunca pasa por z = 0 salvo que esté entera adentro, y el sistema de 2×2 sale incompatible. Entonces se fija otra variable.
Una recta como dos ecuaciones
Una recta en ℝ³ es la intersección de dos planos, y ésa es su descripción implícita: dos ecuaciones a la vez. Para pasar de la paramétrica a dos implícitas se elimina el parámetro:
y = 3 + α → α = y − 3
x = 2α → x − 2y = −6
z = 1 − α → y + z = 4
Las dos ecuaciones que salen son dos planos que contienen a la recta. No son únicas (hay infinitos planos que la contienen), pero cualquier par que se elija describe la misma recta. La recta perpendicular a un plano por un punto tiene como dirección la normal del plano, y después se pasa a implícitas igual.
Una recta con un plano
Si la recta viene en paramétrica y el plano en implícita, se reemplaza x, y, z de la recta en la ecuación del plano. Queda una ecuación de primer grado en el parámetro, A·α = B, y los tres casos son los de siempre:
A = 0, B = 0 → todo α sirve:
la recta está en el plano
A = 0, B ≠ 0 → ningún α:
paralela, no lo toca
El número A es ⟨v ; n⟩, el producto escalar de la dirección de la recta con la normal. Por eso ⟨v ; n⟩ = 0 dice que la recta es paralela al plano (va «de costado», perpendicular a la normal), y entonces falta ver si está adentro o afuera, probando un solo punto.
Si el plano viene en paramétrica, conviene pasarlo primero a implícita con el producto vectorial: igualar dos paramétricas da tres ecuaciones con tres parámetros, y es más largo.
El control que conviene hacer siempre
Un punto de intersección tiene que cumplir todas las ecuaciones del enunciado, no las que armaste en el camino. Una dirección sacada de n₁ × n₂ tiene que dar 0 contra n₁ y contra n₂. Y un par de implícitas de una recta se controla con dos puntos de la recta (α = 0 y α = 1): los dos tienen que cumplir las dos.
Sean Π₁: x + 2y − z = 3 y Π₂: 2x − y + z = 1. ¿Se cortan? Si lo hacen, escribir su intersección en forma paramétrica.
Planteo: primero las normales, para saber si son paralelos; después dirección y un punto.
Las normales: n₁ = (1, 2, −1) y n₂ = (2, −1, 1). No son múltiplos (el factor sería 2 en la primera y −1/2 en la segunda): los planos se cortan en una recta.
La dirección:
(−1)·2 − 1·1, 1·(−1) − 2·2)
= (1, −3, −5)
Control: ⟨(1, −3, −5) ; n₁⟩ = 1 − 6 + 5 = 0 ✔ y ⟨(1, −3, −5) ; n₂⟩ = 2 + 3 − 5 = 0 ✔
Un punto: con z = 0 queda un sistema de 2×2.
2x − y = 1 → y = 2x − 1
x + 4x − 2 = 3 → x = 1, y = 1
El punto es (1, 1, 0), y la intersección es
El control: con λ = 1, (2, −2, −5). En Π₁: 2 − 4 + 5 = 3 ✔ En Π₂: 4 + 2 − 5 = 1 ✔ Dos puntos de L cumplen las dos ecuaciones, así que L entera está en los dos planos.
El mismo resultado por el sistema: con z = t, las ecuaciones son x + 2y = 3 + t y 2x − y = 1 − t. Resolviendo, x = 1 − t/5 e y = 1 + 3t/5. Con t = −5s: (1 + s, 1 − 3s, −5s), que es la misma L con otro nombre para el parámetro ✔
Dónde se pierde el punto: dar un punto (1, 1, 0) como «la intersección». Es un punto de ella, pero la intersección de dos planos no paralelos es una recta entera.
Sea L: X = α(2, 1, −1) + (1, 0, 3). a) Hallar la intersección de L con cada uno de los planos Π₁: x + y + z = 8, Π₂: x − y + z = 4 y Π₃: x − y + z = 0. b) Hallar la intersección de la recta {x + y = 1 ; y − z = 2} con el plano Π: X = α(1, 0, 1) + β(0, 1, 1) + (0, 0, 2).
a) Planteo: los puntos de L son (1 + 2α, α, 3 − α). Se reemplazan en cada plano.
4 + 2α = 8 → α = 2
Un punto: (5, 2, 1). Control: 5 + 2 + 1 = 8 ✔
4 + 0·α = 4
Se cumple para todo α: L está contenida en Π₂. La intersección es L misma.
L es paralela a Π₃ y no lo toca: intersección vacía. Tiene sentido: Π₂ y Π₃ son paralelos (misma normal), y L, que está en uno, no puede tocar al otro.
El coeficiente de α es ⟨v ; n⟩: con n₁ = (1, 1, 1) da 2 + 1 − 1 = 2 ≠ 0, y con n = (1, −1, 1) da 2 − 1 − 1 = 0. Eso ya anticipaba cuál cortaba en un punto.
b) Planteo: el plano viene en paramétrica, así que primero lo paso a implícita.
d = ⟨(−1, −1, 1) ; (0, 0, 2)⟩ = 2
Π: −x − y + z = 2
Ahora es un sistema de 3×3 con las dos ecuaciones de la recta:
y − z = 2
−x − y + z = 2
Sumando la primera y la tercera: z = 3. De la segunda, y = 5, y de la primera, x = −4. La intersección es (−4, 5, 3).
El control en la paramétrica del plano: α = −4 y β = 5 dan (−4, 5, 2 − 4 + 5) = (−4, 5, 3) ✔ Y en la recta: −4 + 5 = 1 ✔, 5 − 3 = 2 ✔
Dónde se pierde el punto: en a), leer 4 = 4 como «no da información» y 4 = 0 como «hay que seguir buscando». Los dos son la respuesta: toda la recta y nada.
Dónde se cae la mayoría
- Buscar un único punto en la intersección de dos planos: dos ecuaciones con tres incógnitas, si son compatibles, dan infinitas soluciones, una recta entera.
- Declarar que una recta corta a un plano sin mirar ⟨v ; n⟩: si da 0, la recta es paralela y el sistema es 0·α = B.
- Leer 0·α = 0 como «no hay solución»: es al revés, cualquier α sirve y la recta está entera en el plano.
- Tomar como dirección de la recta perpendicular a un plano un vector del plano: la dirección es la normal.
- Fijar z = 0 para encontrar un punto de la recta intersección cuando la recta es paralela al plano xy: el sistema sale incompatible y no quiere decir que los planos no se corten.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Intersecciones en ℝ³ →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Un plano, su perpendicular y una recta que parece cortarla20 puntos · resuelto paso a paso
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