Matemática (61) · Unidad 11 — Combinatoria y probabilidad
Contar por casilleros: regla del producto, de la suma y el complemento
Para contar sin hacer la lista, partí la elección en etapas: si cada etapa tiene sus opciones y no dependen de lo que salió antes, se multiplican. Si el conteo se parte en casos que no se pisan, se suman. Y cuando piden «al menos uno», casi siempre conviene contar lo contrario y restar.
La explicación
Por qué se multiplica: el árbol escondido
Querés saber cuántos números de dos cifras se arman con los dígitos 1, 2 y 3. Para la primera cifra hay 3 opciones, y de cada una salen otras 3 para la segunda: 1 abre la rama 11, 12, 13; el 2 abre 21, 22, 23; el 3, otras tres. Son 3 ramas de 3 cada una: 3 · 3 = 9. Eso es la regla del producto, y es un árbol que no hace falta dibujar:
con n₁, n₂, …, n_k opciones cada una,
hay n₁ · n₂ · … · n_k resultados
La condición que importa es que la cantidad de opciones de cada etapa no dependa de lo que se eligió antes (las opciones pueden ser otras, la cantidad no).
Los casilleros
La forma práctica de usarla: dibujá un casillero por cada etapa y escribí adentro cuántas opciones quedan. Después multiplicás.
- Con repetición (las cifras pueden repetirse, una moneda que se tira varias veces): cada casillero tiene todas las opciones. Con k opciones y n casilleros hay kⁿ.
- Sin repetición (cifras distintas, personas distintas): cada casillero tiene una opción menos que el anterior: 5 · 4 · 3 · 2.
- Objetos en cajas: si cada uno de n objetos va a una de k cajas, el casillero es el objeto, que elige caja. Son kⁿ, no nᵏ: 4 cartas en 3 buzones son 3⁴ = 81.
Las restricciones van primero
2. Llená primero el casillero que tiene una condición: la última cifra si piden pares, la primera si no puede ser 0 o si piden «mayor que 6000».
3. Después los demás, descontando lo ya usado si no se puede repetir.
4. Si una condición cambia cuántas opciones quedan en otro casillero (el 0 al final deja libre la primera cifra; un 2 al final, no), partí en casos y sumá.
Un casillero puede quedar obligado: en un capicúa de cuatro cifras, la tercera tiene que ser igual a la segunda y la cuarta igual a la primera. Esos casilleros tienen 1 opción, así que sólo se eligen las dos primeras.
La regla de la suma: casos que no se pisan
Si los resultados se parten en grupos disjuntos (ninguno está en dos grupos), el total es la suma. «Un varón de la mañana y una mujer de la tarde, o una mujer de la mañana y un varón de la tarde» son dos casos que no comparten ningún equipo: se cuenta cada uno por producto y se suman.
Si los grupos se pisan, sumarlos cuenta dos veces lo que está en los dos. Se arregla restando la parte común:
El complemento: «al menos uno»
«Al menos un 6», «al menos una mujer», «que difiera en algún tramo»: contado de frente son varios casos. Lo contrario es uno solo («ningún 6», «ninguna mujer», «exactamente el mismo camino»), así que:
Cuando no se distingue el orden
Dos dados de colores dan 6 · 6 = 36 resultados, porque «verde 2, rojo 5» y «verde 5, rojo 2» son distintos. Si los dados no se distinguen, esos dos son uno solo, pero los dobles no tienen pareja: (3, 3) ya era uno. No se divide 36 por 2: son 6 dobles más (36 − 6)/2 = 15 pares distintos, 21 en total.
El control que conviene hacer siempre
Achicá el problema hasta que la lista entre en un renglón y contá a mano: con dos cifras en vez de cuatro, o dos dígitos en vez de cinco, la fórmula tiene que dar lo mismo que la lista. Y mirá el orden de magnitud: lo restringido nunca puede superar a lo que no tiene restricción.
Con los dígitos 1, 2, 5, 7 y 8, ¿cuántos números de cuatro cifras se pueden formar a) sin ninguna condición, b) con las cuatro cifras distintas, c) pares y con las cifras distintas, d) mayores que 6000?
Planteo: cuatro casilleros, uno por cifra. En cada inciso cambia cuántas opciones hay adentro.
a) Sin condición: cada cifra puede ser cualquiera de los 5 dígitos, repitiendo.
b) Cifras distintas: cada casillero tiene uno menos que el anterior.
c) Pares y distintas: la condición está en la última cifra, que tiene que ser 2 u 8. Se llena primero: 2 opciones. Después la primera cifra elige entre los 4 dígitos que quedan, la segunda entre 3 y la tercera entre 2.
Si la hubieras llenado al final, no sabrías cuántos pares quedan: depende de si ya usaste el 2 o el 8 adelante.
d) Mayores que 6000: ahora la condición está en la primera cifra, que tiene que ser 7 u 8 (con esos dígitos, cualquier número que empiece así ya pasa de 6000, porque el más chico es 7111; y ninguno que empiece con 1, 2 o 5 llega). Las otras tres son libres.
Control: 48 < 120 < 625 y 250 < 625: lo restringido nunca supera a lo libre ✔ Y en b) la mitad no son pares, porque hay 2 dígitos pares y 3 impares: 48 es 2/5 de 120, que es justo la proporción de pares entre los cinco dígitos ✔
Entre el pueblo P y la estación E hay 5 caminos, y entre la estación E y el puerto R hay 2. Contar las maneras de a) ir de P a R pasando por E, b) ir y volver, c) ir y volver sin repetir ningún camino, d) ir y volver sin repetir exactamente el mismo recorrido de ida.
Planteo: cada viaje es una sucesión de tramos, y cada tramo es un casillero con los caminos que tiene.
a) Ida: dos casilleros, P→E y E→R.
b) Ida y vuelta: son cuatro tramos, P→E, E→R, R→E y E→P, sin restricciones.
c) Sin repetir ningún camino: a la vuelta, cada tramo tiene uno menos que a la ida.
d) Que la vuelta no sea el mismo recorrido: acá conviene el complemento. «Distinto en algún tramo» incluye cambiar el primero, el segundo o los dos. Lo contrario es uno solo: volver exactamente por donde fuiste, y para cada ida hay una sola vuelta así, o sea 10 casos.
Control: c) < d), y tiene que ser así: «no repetir ningún camino» es más exigente que «no repetir el recorrido entero». La diferencia, 90 − 40 = 50, tienen que ser las vueltas que repiten un tramo y cambian el otro. Contadas aparte: repetir el de R a E y cambiar el de E a P da 1 · 4 = 4 vueltas por cada ida, o sea 40; cambiar el de R a E y repetir el de E a P da 1 · 1 = 1 por ida, 10. Son 50 ✔
Dónde se pierde el punto: contestar d) igual que c). «Distinto» no es «distinto en todo»: es «no igual».
Dónde se cae la mayoría
- Llenar el casillero restringido al final: si ya usaste los pares en las primeras cifras, «las que quedan» para la última no son siempre las mismas y la cuenta se rompe. Lo que tiene condición va primero.
- Poner objetos en cajas al revés: n objetos en k cajas son kⁿ (cada objeto elige caja), no nᵏ.
- Sumar casos que se pisan: si un resultado cumple las dos condiciones, se contó dos veces. Hay que restar la parte común.
- Contar «al menos uno» sumando casos a mano y olvidarse alguno. Total menos ninguno es una sola cuenta.
- Dividir por 2 cuando los dados no se distinguen: los dobles no tienen pareja y quedan contados a medias.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Contar por casilleros: regla del producto, de la suma y el complemento →Los otros temas de la unidad 11
Combinatoria y probabilidad